Axioma de los numeros reales

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xiomAxioma de los Números Reales
Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, enconsecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquierafirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones serdemostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces pocointuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.
Hay tres tipos de axiomas:Los axiomas algebraicos
Los axiomas de orden
El axioma topológico.

Cota Superior
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del
ConjuntoA, es decir
(3M G R)(Vx G A) tal que: x ≤ M

A este número M, se le llamará Cota Superior de A.

Observación
Cualquier otro real mayor que M, también será una cota superior de A.

CotaInferior
Un conjunto A es acotado inferiormente si existe un real m que es menor que todos los elementos del conjunto A, es decir
(3m G R)(Vx G A) tal que: m ≤ x.
A este número m se le llamara cotainferior de A.

Observación
Cualquier otro real menor que m, también será una cota inferior de A.
Observación
Un conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado

Ejemplos
1 A = (−1, 5).Este intervalo es acotado superiormente, una cota superior es 5, y el conjunto de las cotas superiores es [5,1).
No hay cotas superiores m < 5, ya que siempre existe " > 0 tal que m + _ 2 A y...
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