Axioma supremo

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas: 7 (1686 palabras)
  • Descarga(s): 7
  • Publicado: 6 de julio de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
Prof. Nelson Cifuentes F.

0.1

Axioma del supremo

El conjunto de los números racionales cumple con la propiedades de cuerpo y de orden que se cumplen en , sin embargo en tal conjunto no podemos dar respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla x2 = 2 es por eso que necesitamos dar otro axioma en algunas definiciones. Sea S ⊆ , definimos: Definición 0.1.1 Se dice que un númeroreal a es cota inferior de S si a ≤ s para todo s ∈ S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotado inferiormente”. Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b ≥ s para todo s ∈ S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotado superiormente”. Definición 0.1.3 Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un conjunto acotado. ,antes debemos introducir

Ejemplo 0.1.4 Sea S = ]−1, 3[ ∪ [4, 5] entonces a = −2 es cota inferior para S. En efecto, si s ∈ S entonces −1 < s < 3 ∨ 4 ≤ s ≤ 5 se sigue −2 ≤ s sea cual sea el s ∈ S. Similarmente a = −1.5, a = −3, a = −1 son cotas inferiores de S. a = 7/2 no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que es estrictamente menor que a . Al encontrar unacota inferior, de inmediato podemos decir que el conjunto es acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un conjunto S entonces todo j ≤ a también será cota inferior.
1 1 1 = 1, 2 , 3 , ... . b = 2 es Ejemplo 0.1.5 Sea A = x ∈ : x = n para algún n ∈ una cota superior para A pues si n ∈ entonces n ≥ 1 de donde obtenemos 1 ≥ 1/n para cada n ∈ , se sigue que cualquier elementodel conjunto es menor que 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que 1 es cota superior, ya que 1 ∈ A.

Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el conjunto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior de un conjunto S entonces todo b con b ≤ b también será cota superior. Definición 0.1.6 Un número real m se dice mínimode un conjunto S si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = min (S).
Matemática 1 (MAT021)

1

versión preliminar

Prof. Nelson Cifuentes F.

Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces M = max (S).

Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 ∈ A y para cada x ∈ A se tiene 0≤ x . Note que a = −1 es cota inferior pero no es el mínimo porque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A, 1 ∈ A y para cada x ∈ A se cumple x ≤ 1. Ejemplo 0.1.9 Sea A = [−1, 5[ entonces m = −1 es un mímino, pues −1 ∈ A y para cada x ∈ A se tiene −1 ≤ x . Este conjunto no tiene máximo, note que 5 ∈ A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 escota superior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser el maximo al no estar en el conjunto, si −1 < b < 5 entonces el elemento b +5 ∈ A 2 y b < b +5 luego b no es máximo. Claramente si b ≤ −1 no puede ser el máximo 2 basta tomar 2 ∈ A para tener una contradicción. Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M 2 son dos máximos del conjunto S entonces se sumple que M 1 ∈S y M 2 ∈ S pero al ser M 1 un máximo en particular se cumple para cada s ∈ S, s ≤ M 1 en particular para s = M 2 se tiene M2 ≤ M1 similarmente, al ser M 2 un máximo se cumple M1 ≤ M2 de ambos se obtiene M 1 = M 2 . Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es la mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > a no es cota inferior de S,verificándose que a > s para algún s ∈ S . En este caso se escribe a = inf (S). Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es la menor de las cotas superiores de S. Es decir, si s ≤ b para todo s ∈ S y cada b < b no es cota superior de S, verificándose que b < s para algún s ∈ S. En este caso se escribe a = supS.

Ejemplo 0.1.12 Si A = ]1, 2[ entonces el conjunto de...
tracking img