Axiomas

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AXIOMAS Y TEOREMAS.
 
1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
 
0 p(A) 1
 
2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.
 
p() = 1
 
3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B)

Generalizando:
 
Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An,entonces;
 
p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
 

TEOREMAS

|
TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero.
 
A

|
p()=0

 
 
 
DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entoncesp(A)=p(A) +p()=p(A). LQQD
 
 
TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)
A |

Ac |

|

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD
 
TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A)p(B).
 
|

A |

B\A |

B |

 
 
 
 
 
 
 
 
DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B). LQQD
 
 
 
 
 
TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AB)
A |

B |

A\B |

AB |

|

 
 
 
 
 
 
 
DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventoscualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD
 
 
TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) – p(AB).
 
A |

B |

AB |

|

 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEMOSTRACIÓN:
Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, porlo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB). LQQD
 
COROLARIO:
ABC

|
AB

|
Para tres eventos A, B y C, p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AB) – p(AC) – (BC) + p(ABC).
 
 
A |

B |

C |

|

BC |

AC |

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidad
Interpretaciones de Probabilidad
Existen diferentesinterpretaciones de probabilidad, las más comunes son:
* Clásica:
* Frecuencia relativa:
* Subjetiva: P(A) = ``creencia en A'' (factor de apuesta)
Probabilidad
Definición: Dado un experimento y el espacio de muestreo respectivo, a cada evento le asociamos un número real , el cual es la probabilidad de y satisface las siguientes propiedades:
1.
2.
3. , si y mutuamente exclusivos
Teorema1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Probabilidad Condicional
Si y son dos eventos en , la probabilidad de que ocurra dado que ocurrió el evento es la probabilidad condicional de dado , y se denota .
La probabilidad condicional por definición es:
, dado
Ejemplo:
* Para un dado, si sé que cayó impar, cuál es la probabilidad de 3?
Similarmente:

De donde:

Esta expresión se conoce como elTeorema de Bayes, que en su forma más general es:

El denominador se le conoce como el teorema de la probabilidad total.
Teorema 4:
Si representan una partición (exclusivos, exhaustivos y mayores a cero) de , y es un evento respecto a , entonces la probabilidad de la podemos escribir como:

Eventos independientes
Dos eventos, y , son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con laocurrencia de otro.
Por definición, es independiente de si y sólo si:

Esto implica que:

* Independientes es diferente a mutuamente exclusivos.
Independencia condicional
Un evento es condicionalmente independiente de otro dado un tercer evento , si el conocer hace que y sean independientes. Es decir, si conozco , no tiene influencia en . Esto es:

Ejemplo:
* A - regar el jardín...
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