axiomas

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.
Axiomas de Kolmogórov:
Primer axioma:
La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 £ p(A) ³ 1
Ejemplo: La probabilidad de sacarpar en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5
Segundo Axioma:
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.
p(d) = 1
Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".

Tercer Axioma:

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,
p(AÈB) = p(A) + p(B)Ejemplo: Laprobabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
Generalizando
Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
Ejemplo:
Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {Æ, {1}, {2}, ...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos.
Sin embargo si se ha asignado a lossucesos elementales p({1})= p({2})= ...= p({6})= 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3})= p({1})+ p({3})=2/6.

Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar".

2Definición (axiomática)de la probabilidad

Durante el siglo XX, un matemático ruso, Andrei Kolmogorov, propuso una definición de probabilidad, que es la que seguimos utilizando hoy en día.

Si hacemos un determinado experimento, que tiene un espacio muestral Ω, definimos la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A una determinada probabilidad, P(A), que cumple las siguientes propiedades:

Laprobabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero. Es decir, P(A)≥0. La probabilidad mide, en cierta manera, lo difícil que es que ocurra un suceso A: como menor sea la probabilidad, más difícil es que ocurra.

La probabilidad del suceso seguro es 1. Es decir, P(Ω)=1. Así pues, la probabilidad siempre es mayor que 0 y menor que 1: probabilidad cero quiere decir que no hay ninguna posibilidad deque pase (es un suceso imposible), y probabilidad 1, que siempre pasa (es un suceso seguro).

La probabilidad de la unión de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos es la suma de las probabilidades de los sucesos. Esto es, si tenemos, por ejemplo, los sucesos A,B,C, y son incompatibles dos a dos, entonces P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C).
Nota: En matemáticas, un axioma es un resultadoque se acepta sin que necesite demostración. En este caso, decimos que ésta es la definición axiomática de la probabilidad porque definimos la probabilidad como una función que cumple estos tres axiomas. También podríamos haber escogido unos axiomas diferentes, y entonces para nosotros la probabilidad sería otra cosa.

Principales propiedades de la probabilidad

P(A)+P(A¯¯¯)=1.
Esto es, lasprobabilidades de los sucesos complementarios suman 1. Muchas veces utilizaremos esta propiedad para calcular probabilidad del complementario: P(A¯¯¯)=1−P(A).

Veamos por qué. Sabemos que, por un lado, A y A¯¯¯ son incompatibles, y por el otro, A∪A¯¯¯=Ω, puesto que uno es el contrario del otro. Esto es otra manera de entender lo que ya sabíamos, que el suceso A∪A¯¯¯ es un suceso seguro, y por...