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UNIDAD I INTEGRALES INDEFINIDAS O ANTIDERIVADAS.
1.1 INTRODUCCION.
En cierto modo ya estamos familiarizados con las operaciones inversas. La adición y la sustracción, la multiplicación y la división, además de la potenciación y la radicación. Aquí se estudiará la operación inversa de la derivada, llamada anti derivada o integral indefinida.
1.2.1 Definición deAntiderivada.- Una función F se denomina anti derivada de la función f en un intervalo I si F´x=fx para todo valor de x en I.
Ejemplos ilustrativos:
1. Si F es la función definida por:
Fx=3x4+x3-2x2+10
Entonces F´x=12x3+3x2-4x.
De modo que si f es la función definida por
fx=12x3+3x2-4x, entonces f es la derivada de F, y F es la anti derivada de f.
Si Gx=3x4+x3-2x2-7, entonces G tambiénes una anti derivada de f porque G´x=12x3+3x2-4x.
En definitiva cualquier función determinada por 3x4+x3-2x2+C, donde C es una constante, es una anti derivada de f.
2. Si C es una constante arbitraria, entonces cualquier función definida por cosx+C
Tiene la función - sen x como su derivada. Por lo que cualquier función de este forma es una anti derivada de -sen x.
En formageneral podríamos decir que para una misma derivada, existe muchas anti derivadas, es decir su solución es una familia de curvas, dependiendo de los valores que tome la constante C en un intervalo determinado.
El proceso que se utiliza para encontrar la anti derivada, se llama anti diferenciación o integración indefinida, y es el procedimiento mediante el cual se encuentra todas las anti derivadasde una función dada, el símbolo matemático que denota la operación de anti diferenciación o integración es el símbolo y se escribe así:
fxdx=Fx+C.
Donde F´x=fx y dFx=fxdx.
1.1.2 Reglas principales de integración:
* Si, F´x=fx, entonces fxdx=Fx+C.Donde C es una constante arbitraria.
* Afxdx=Afxdx, donde A es una constante.
* f1x±f2xdx=f1xdx±f2xdx.
* Si fxdx=Fx+Cy u=φx, se tiene, fudu=Fu+C.

1.2 TABLA DE LAS PRINCIPALES INTEGRALES INMEDIATAS.

I. undu=un+1n+1+C, n≠-1
II. duu=lnu+C.
III. duu2+a2=1aarc tgua+C=- 1aarc tgua+C1. a≠0.
IV. dxu2-a2=12alnu-au+a+C. a≠0.
V. dua2-u2=12alna-ua+u+C. a≠0.
VI. dua2-u2=arc sen ua+C=-arc cosua+C1. a>0.
VII. duu2±a2=lnu+u2±a2+C. a≠0.
VIII. audu=aulna+Ca>0; eudu=eu+C.
IX. sen u du=-cosu+C.
X. cosu du=senu+C.
XI. ducos2u=sec2u du=tg u +C. .
XII. dusen2u=csc2u du=-ctg u +C.
XIII. dusen u=cscu du=lntg u2 +C=lncscu-ctg u+C1.
XIV. ducos u=secu du=lntg u2+π4 +C=lntgu+sec u+C1.
XV. sh u du=ch u+C.
XVI. ch u du=sh u+C.
XVII. duch2u=sh2u du=th u +C. .
XVIII. dush2u=csch2u du=-cth u +C.
XIX.a2-u2du=u2a2-u2+a22arcsen ua+C.
XX. u2+a2du=u2u2+a2+a22lnu+u2+a2+C.
La mayoría de las formulas anteriores se pueden demostrar por medio de la derivación.
Ejemplos:
El procedimiento consiste en derivar los dos lados de la igualdad.
1. undu=un+1n+1+C, (formula I)

dundu=dun+1n+1+C=un.

2. dua2+u2=1aarc tg ua+C. (formula III)

ddua2+u2=d1aarc tgua+C=1a.11+ua2.1a=1a2+u2.3. dua2-u2=arc senua+C. (formula VI)

ddua2-u2=darc senua+C=11-ua2.1a=1a2-u2.

4. audu=aulna+C. (formula VIII)

dau du=daulna+C=1lnaau.lna=au.

5. duu2-a2=12alnu-au+a+C. (formula IV)

duu2-a2=d12alnu-au+a+C=12a.u+aa-au+a-u+au+a2=1u2-a2.

1.3 INTEGRALES INMEDIATAS APLICANDO LAS REGLAS Y FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACION.
En algunos de estos ejemplos para poderllegar a una de las formulas básicas, se debe utilizar el algebra, la trigonometría etc.
Ejemplos:
1. 6x2+8x+3dx=6x2dx+8x dx+3dx=6x2dx+8x dx+3dx=
=63x3+82x2+3x+C.
2. (3-x2)3dx=27-27x2+9x4-x6dx=27x-9x3+95x5-17x7+C.
3. (1-x)1-2x1-3xdx=1-3x-3x+9x2+2x2-6x3 dx=
=1-6x+11x2-6x3dx=x-3x2+113x3-32x4+C.
4....
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