Bachiller

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Integracion numérica

4.1 INTRODUCCION

w

w

w

.M

at

em
at

ic
a1

.c
om

Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones
dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analitica. Incluso en el caso en que sea
posible Ia integración analitica, la integración numérica puede ahorrar tiempo y esfuerzo si solo se desea conocer el valornumérico de la integral.
Este capitulo analiza Los métodos numéricos que se utilizan para evaluar integrales de una variable:

fb

I

f(x) dx

asi como integrales dobles:

i = s:

f

f(x, y) dy dx

donde las funcionesf(x) yf(x, y) pueden estar dadas en forma analitica o mediante
una tabla.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de
interpolaciOn.Por consiguiente, las distintas formulas de interpolación darán por
resultado distintos métodos de integración numérica. Los métodos que se estudian
en las secciones 4.2 hasta La 4.5 se refieren a las fOrmulas de Newton-Cotes, que se
basan en las fOrmulas de interpolaciOn con puntos de separación uniforme y se deducen al integrar las fOrmulas de interpolaciOn de Newton hacia adelante y haciaatrás, asi como la fOrmula de interpolación de Lagrange. A su vez, las formulas de
Newton-Cotes se subdividen en las de tipo cerrado y las de tipo abierto. Las reglas
del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al tipo cerrado de las fOrmulas de
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METODOS NUMERICOS APLICADOS CON SOFTWARE

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Newton-Cotes. Las cuadraturas de Gauss, analizadas en Ia sección 4.6, se basan en
LainterpoLación polinomial, usando Las raices de un polinomio ortogonal, como los
polinomios de Legendre. Los métodos de integración examinados en la secciôn 4.7
se apLican a integraLes con lImites infinitos y a las integrates de funciones singulares.
La ültima sección describe la integración numérica para integrates dobles.
En la tabla 4.1 aparece un resumen de las ventajas y desventajas de losmétodos de integración numérica que se estudian en este capItulo.
Tabla 4.1 Resumen de los métodos de integraciOn numérica

Desventajas

Ventajas

Mêtodo

Necesita un gran nOmero de
subintervalos para una buena

Sencillez. Optima para
integrales impropias.

Regla del trapecio

precisiOn.

Sencillez. Más precision que Ia
regla del trapecio.

SOlo con un nOmero par deintervalos.

Regla de 3/8 de Simpson

El mismo orden de precision
que La regla de 1/3.

SOlo con intervalos cuyo
nOmero sea mOltiplo de tres.

Formulas de Newton-Cotes

Utiliza puntos con igual
separaciOn. Se dispone de
formulas abiertas y cerradas.

Las fOrmulas de orden
superior no necesariamente son
más precisas.

Cuadraturas de Gauss

Más precisiOn que las fórmutas
deNewton-Cotes. No se utilizan
los valores de la función en los
extremos.
Buena precisiOn para las
integrales impropias.

Los puntos no están separados
uniformemente.

em
at

Requiere de un cuidado especial
para evitar el desbordamiento o
La division por nOmeros muy

at

TransformaciOn exponencial
doble

ic
a1

.c
om

Regla de 1/3 de Simpson

w

w

.M

pequenos.

w

4.2REGLA DEL TRAPECIO

Esta regla es un método de integración numérica que se obtiene at integrar La fôrmuLa de interpolaciôn lineal. Se escribe en la forma siguiente:

I=

lab f(x)

dx

b-a

[f(a) + f(b)] + E

(4.2.1)

donde el primer término del lado derecho es la regta del trapecio (formula de integraciOn) y Erepresenta su error. En la figura 4. Lse muestra grãficamente laintegraciOn
numérica por medio de la ecuaciOn (4.2.1). El area sombreada por debajo de la recta
de interpolaciOn (la cual puede denotarse como g(x)) es igual a la integral calculada
mediante la regla del trapecio, mientras que el area por debajo de la curvaf(x) es el
valor exacto. Por to tanto, el error de la ecuaciOn (4.2.1) es igual at area entre g(x)

yf(x).

La ecuaciOn (4.2.1) se puede...