Base Ortonormales
Páginas: 3 (551 palabras)
Publicado: 5 de diciembre de 2012
Base ortonormal
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con productointerno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, demagnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por unescalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma decada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de spandenso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio comouna combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de unabase ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. UnEspacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.
Ejemplos [editar]El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base estándar) forma una baseortonormal de R3.
Demostración: Mediante un cálculo directo se verifica que 〈e1, e2〉 = 〈e1, e3〉 = 〈e2, e3〉 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un...
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con productointerno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, demagnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por unescalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma decada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de spandenso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio comouna combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de unabase ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. UnEspacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.
Ejemplos [editar]El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base estándar) forma una baseortonormal de R3.
Demostración: Mediante un cálculo directo se verifica que 〈e1, e2〉 = 〈e1, e3〉 = 〈e2, e3〉 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.