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La Gaceta de la RSME, Vol. 11 (2008), Núm. 1, Págs. 45–96

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Un paseo alrededor de la teoría de conjuntos
por

José Luis Gómez Pardo

Introducción
La teoría de conjuntos ha ocupado, desde que Cantor la estableció como una disciplina independiente a finales del siglo XIX, un lugar especial en las matemáticas. A lo largo del siglo XX se ha ido generalizando la idea de que los conjuntosson un concepto fundamental debido a que proporcionan un lenguaje al cual, en cierto sentido, pueden reducirse todas las matemáticas. Esta idea ya estaba presente en la construcción de los números reales a partir de los enteros realizada por Dedekind y la teoría de conjuntos, desde el momento en que se formalizó con el objetivo de que pudiera servir para desarrollar las matemáticas al amparo de lasamenazas planteadas por las paradojas surgidas a principios del siglo pasado, pasó a ser considerada como parte integrante de lo que se puede llamar fundamentos de las matemáticas. Una de las ideas básicas que justifican esta adscripción es la de que, en principio, se supone que cualquier demostración matemática se podría reducir a una deducción formal, en el sentido de la lógica, dentro de lateoría de conjuntos axiomática. Es cierto que nadie ha visto una demostración matemática no trivial totalmente formalizada en la teoría de conjuntos —y, como se ha señalado a menudo, nadie querría verla si existiera— pero a muchos les tranquiliza el pensar que esta traducción de las matemáticas a los conjuntos es posible “en principio”. Otros, sin embargo, han puesto en duda que esta traducción searealmente posible y, más aun, que el fundamento sólido que pretende proporcionar sea necesario para las matemáticas. Por otra parte, con independencia de los aspectos fundacionales, la teoría de conjuntos también se ha desarrollado como una disciplina matemática autónoma, con sus propios problemas. Quizá el ejemplo más importante sea la hipótesis del continuo, que fue formulada por Cantor y yafiguraba en la lista de los Problemas de Hilbert —como el primer problema— y que, a pesar de la demostración de su indecidibilidad en el marco de la teoría de conjuntos axiomática usual, sigue siendo considerada por muchos como un problema no resuelto, al cual se han dedicado grandes esfuerzos en años recientes. Puede ser pertinente señalar que, a pesar del carácter básico que se le supone al concepto deconjunto, en el estudio de este y de otros problemas conjuntistas importantes, se han desarrollado métodos muy sofisticados y se han obtenido resultados muy profundos, en contra de la idea que algunos matemáticos tienen —derivada quizá de la asociación con los problemas fundacionales y con la filosofía— de que la teoría de conjuntos carece de interés matemático. Por otra parte, la teoría de con- 46

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juntos tiene importantes aplicaciones a las matemáticas y, de la mano de la lógica, también a la informática, a la que presta una estructura de datos básica. En estas notas se pasa revista a algunas de las cuestiones básicas sobre los conjuntos y, en concreto, a las que conciernen a su interacción con las matemáticas —y, en particular, conlos fundamentos de las matemáticas— y con la informática. Están escritas desde el punto de vista de un matemático que no es especialista en teoría de conjuntos y que, a lo largo de su trabajo, solo ha tenido contactos ocasionales con los aspectos no triviales de dicha teoría, a través de los ordinales y cardinales infinitos y de la “combinatoria infinita”. No pretenden ser exhaustivas y, debido a laelección bastante subjetiva de los temas tratados, tampoco serán muy sistemáticas. No obstante, están escritas con la esperanza de que puedan contribuir a arrojar luz sobre algunas de estas cuestiones básicas, aunque solo sea a través de las referencias que se incluyen en la bibliografía, en las cuales se discuten más detenidamente muchas de estas cuestiones. Entre ellas figuran: las distintas...
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