Bayesiano

NOTAS SOBRE INFERENCIA ESTADÍSTICA
BAYESIANA

José G. Ríos Alejandro

Abril del 2011.

INTRODUCCIÓN

En los cursos de estadística usualmente se estudia la estadística con enfoque frecuentista, la
cual algunos autores llaman estadística clásica. Por supuesto que hay razones para ello, creo
que la más importante es que se realiza a través de operaciones algebraicas sencillas quefácilmente se pueden ejecutar.
Sin embargo, hay otra manera de hacer inferencia estadística que se basa en el teorema de
Bayes, denominada estadística Bayesiana. No tiene un enfoque frecuentista como la
estadística clásica, sino que se basa en una conjetura que define el investigador con
respecto al parámetro que se va a estimar, la cual se actualiza después con los resultados de
la muestraaleatoria.
Una de las dificultades de la estadística Bayesiana es que se complican los cálculos que se
deben hacer. Pero en los últimos años la inferencia estadística bayesiana se ha desarrollado
enormemente en sus aplicaciones. La razón de ello es el avance tecnológico en las
computadoras que hacen posible hacer una serie de cálculos y simulaciones rápidamente,
las cuales son necesarias en laaplicación de esta metodología.
Estas notas tienen por objetivo presentarle al lector la idea básica que está detrás de la
inferencia bayesiana. Para más detalles sobre esta metodología se recomiendan las
referencias a nivel introductorio que se mencionan al final. Se supone que el lector tiene
conocimientos sobre elementos de probabilidad, variable aleatoria, distribuciones de
probabilidad. Lasprimeras secciones hablan brevemente sobre la probabilidad condicional
y el teorema de Bayes. Si el lector ya domina estos temas, pasar directamente a la sección
Inferencia Estadística con el Método Bayesiano.

José G. Ríos Alejandro
(jrios@itesm.mx)

La Probabilidad Condicional.
La probabilidad condicional es un concepto que aplica cuando al ejecutar el experimento
aleatorio se nosinforma que ocurrió un evento, digamos el evento B. Con esa información
ahora se quiere calcular la probabilidad de que ocurra el evento A. Se ilustra lo anterior con
el siguiente ejemplo simple.
Supongamos que se lanza un dado legal y nos informan que cayó número par, con esa
información disponible queremos ahora calcular la probabilidad de que haya caído el
número 4. Sea el evento B = cae númeropar y sea el evento A = cae el número 4. Luego,
queremos calcular P(A) sabiendo que ya ocurrió B, lo anterior se denota por P( A | B) que
se lee como “probabilidad de A dado que ya ocurrió B” o “probabilidad de A condicionada
a que ya ocurrió B”.
Analizando la situación vemos que si ya ocurrió B, entonces los resultados posibles del
experimento son B = {2, 4, 6} y como todos son igualmenteprobables entonces P(A|B) =
P(4|B) = 1/3. Sin embargo, la probabilidad condicional P( A | B) se puede expresar en
términos de la probabilidad no condicional haciendo lo siguiente,

P( A | B) 

1 1 / 6 P( A  B)


.
3 3/ 6
P( B)

Donde P( A  B) es la probabilidad no condicional de que caiga el 4 y caiga número par,
además, P(B) es la probabilidad no condicional de que caiga númeropar. Entonces la
probabilidad condicional se puede generalizar como P( A | B) 

P( A  B)
como se indica
P( B)

en la siguiente definición.
Definición 1. Probabilidad Condicional
Sean A, B dos eventos asociados a un espacio muestral S. Entonces la probabilidad de que
ocurra A dado que ya ocurrió B denotado por P( A | B) se define como

P( A | B) 

P( A  B)
con P( B)  0 .
P( B)Observa que al ocurrir el evento B, entonces los resultados posibles del experimento son
solo los elementos de B, por tal razón a B se le conoce como el espacio muestra reducido.
Una fórmula útil de la probabilidad condicional se obtiene al despejar P( A  B) quedando,

P( A  B)  P( B) P( A | B)  P( A) P( B | A) .

(1)

El Teorema de Bayes.
El teorema de Bayes es una probabilidad...