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4.1 Definición de una función de dos variables

La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir:

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. Elconjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación
z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.
Funciones de dos variables:
Una función de dos variables la podemos describir:
• Numéricamente: por medio de una tabla de valores• Algebraicamente: Por una fórmula explícita
• Visualmente: Por medio de una gráfica o por medio de curvas de nivel.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
La gráfica de una función de dos variablespuede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en
Ejemplo 1
Trace la gráfica de la función
Solución
La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocencomo paraboloides (figura 2).
Observación: el paraboloide anterior tiene su eje de simetría paralelo al eje, es de esperar que un paraboloide como tenga su eje de simetría  paralelo al eje .
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:

Se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:

Por ejemplo, si
z = f(x) =
Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centro en el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).

Nota: La ecuación
z2 = 9 - x2 - y2, o bien: z2 + x2 + y2 = 32
Brinda la superficie de la esfera completa.

Otro ejemplo:sea f(x,y) = 1.
Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)).
Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

4.2 Grafica de una función de dos Variables.

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, enesta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.

  | Definición  (gráfica de funciones de dos variables) |
  | La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y. Es decir,   |
 
La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , eldominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en (figura 1).

Ejemplo 1
Trace la gráfica de la función
Solución
La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).

Figura 2.

 El paraboloide anterior tiene su eje de simetría paralelo al eje ,es de esperar que un paraboloide como tenga su eje de simetría  paralelo al eje .
Ejemplo 2
Trace la gráfica de la función .
Solución
Esta es otra de las gráficas que usaremos con mucha frecuencia, se trata de un plano y + z = 2, su gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.
 
Superficies
Debido a que muchas de las superficies con las que trabajaremos no provienen de una función, es...
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