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Análisis Matemático II

CICLO: 2010 – I

INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES ITERADAS



f(x; y)dA 

R

 
a

b

d c

 

 f(x; y)dy dx ; 
;
b d c



f(x; y)dA 

R d b a

 
c

d

b a

 

 f(x; y)dx dy 

Por lo tanto:


R

f(x; y)dA 

R

 
a

 

 f(x; y)dy dx  

 
c

 

 f(x; y)dxdy 

EJEMPLO1: Seaf :  2   Evalúe:

z  f(x; y)  x 2  y 2 y R  1 ; 1  0 ; 1


R

x 2  y2  dxdy
 dxdy   1 
1 1

SOLUCIÓN:

 x  y 
2 2

 

 (x  y )dy dx   0
2 2 1

1



 x 2 y  1 y3  dx  3 0  1 
1

1

1

 
R

x 2  y 2 dxdy 





(x 2 

1

1 )dx  2 3



 x 2  1  dx  2  1 x3  x   4  3 3 3 0 3    0
,donde R es el

EJEMPLO2: Calcule la integral doble cuadrado 0; SOLUCIÓN:
/2

 cos x sen y dxdy
R
/2

 

    0; . 2  2   



cos  x sen  y dxdy 

R

 
0

   

/2 0

 cosxdx  seny dy   
/2



0

sen x  0
/2

/2

sen y dy


NOTACIÓN:
b d

cos  x sen  y dxdy 

R



0

seny dy   cos y  01


a

f(x; y)dydx 

c

 
a

b

d c

 

 f(x; y)dy dx ; 

d

b


c

f(x ; y)dxdy 

a

 
c

d

b a

 

 f(x; y)dx dy 

Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G.

Página 189

Análisis Matemático II

CICLO: 2010 – I

PRÁCTICA DIRIGIDA DE AULA
1. Evalúe las siguientes integrales iteradas.
1 1 1 1

a)

b)

  
1 0 /2 1 00

(x y  y ) dydx

4

2

c)

y cos  x  2 dy dx

d)

 
0 0 0 2 1 1

xy e x  y dy dx

 xlog  y dydx

2. Use el principio de Cavalieri para mostrar que los volúmenes de dos cilindros con la misma base y la misma altura son iguales (ver figura).
r

r

h r

3. Usando el principio de Cavalieri, calcule el volumen de la estructura mostrada en la figura adjunta;donde cada sección transversal es un rectángulo de longitud 5 y ancho 3
3

Calcule este volumen 7 3 5

4. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r , mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro a un ángulo  . Calcule el volumen de la cuña W usando el principio de Cavalieri.

Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G.Página 190

Análisis Matemático II

CICLO: 2010 – I

X

x

Y

5. Calcule:

  x  y  1  x  y dx dy
R

donde R  0;2  0;2 .

LA INTEGRAL DOBLE COMO LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE SUMAS
Consideremos: f : R   2  

z  f(x; y) donde R es el dominio de f

definido por: R  a;b  c ;d (rectángulo cerrado) PARTICIÓN REGULAR DE R DE ORDEN n: Son dos coleccionesordenadas de (n  1) puntos igualmente espaciados

x jj0 y ykk 0 , esto es, puntos que satisfacen:
a  x 0  x1  ...  xn  b , c  y 0  y1  ...  yn  d y
x j 1  x j  ba n
,

n

n

y k 1  y k 

dc n

yn  d a  x0 x1
xj x j 1

xn  b

y k 1 yk y1

c  y0

Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G.

Página 191

Análisis Matemático II

CICLO: 2010 – I

Y
yn  dyk 1 yk y1 c  y0
R  a;b  c;d

0

X
a  x 0 x1

xj

x j1

xn b

DEFINICIÓN.- Se dice que una función f : R   2   dominio de f .

z  f(x; y) es

acotada si existe un número M  0 tal que f(x; y)  M para todo (x; y) en el

OBSERVACIÓN: Una función continua en un rectángulo cerrado siempre es acotada, pero por ejemplo,

f : 2  
no es acotada, pues

f(x; y)

1 en 0;1  0;1 x

1 se hace arbitrariamente grande para x cerca de cero. x El rectángulo 0;1  0;1 no es cerrado, pues el punto inicial 0 falta en el
intervalo 0;1 . Ahora sea R jk  x j ; x j 1  yk ; yk 1 y sea c jk cualquier punto en R jk .  





d

Y

y

yk 1 yk

c jk

c

0

X

a

xj

x j1
x

b

Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G....
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