Bifurcaciones En Ecuaciones Diferenciales

Bifurcaciones en Ecuaciones
Diferenciales
´
FACULTAD DE MATEMATICAS NODO CHILPANCINGO

Alicia Bardomiano Ponce
Diosseline Nava M´ndez
e
V´
ıctor Ignacio Esp´
ıritu Montiel

Asesor: M.C. Mart´ Patricio Arciga Alejandre
ın

1.

´
INTRODUCCION

Una caracter´
ıstica de los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales, que
se ha convertido en un tema de inter´s fundamental,es la gran variedad de tipos
e
de respuesta de la que son capaces cuando la condici´n inicial o el valor de alg´n
o
u
par´metro en la ecuaci´n cambian.
a
o
En un sistema, el paso de un conjunto de respuestas a otro, ocurre a menudo
muy pronto, o de manera catastr´fica, algunos ejemplos de estos cambios se dar´n
o
a
a lo largo de esta nota. El concepto que se vincula a la idea de dichocambio es
el de bifurcaci´n, el cambio repentino en el comportamiento se produce por un
o
par´metro que pasa a trav´s de un valor cr´
a
e
ıtico, llamado punto de bifurcaci´n. Un
o
sistema puede contener m´s de un par´metro, cada uno con sus puntos de bifura
a
caci´n, de modo que el sistema puede mostrar comportamientos extremadamente
o
complejos. Adem´s de las t´cnicas de la teor´general de ecuaciones diferenciales, el
a
e
ıa
anal´ num´rico es una herramienta importante en la b´squeda de una taxonom´
ısis
e
u
ıa
para el comportamiento de dichos sistemas.
Estudiaremos algunas bifurcaciones elementales caracter´
ısticas, tales como las
cat´strofes tipo pliegue y c´spide, y la bifurcaci´n de Hopf.
a
u
o

1

2.

DESARROLLO DEL TEMA

2.1.

EJEMPLOS DEBIFURCACIONES SIMPLES

Damos una visi´n intuitiva de algunas bifurcaciones simples.
o
Ejemplo 1. Considera el sistema
x =y , y =−lx
que contiene un p´rametro l con valores (∞, −∞). El diagrama de fase tiene
a
un centro para l > 0 y una silla para l < 0, estas clasificaciones representan
tipos radicalmente diferentes de un sistema estable e inestable. El cambio en la
estabilidad ocurre cuando lpasa por l = 0.
Una bifuraci´n se dice que ocurre en l = 0 y l = 0 es llamada el punto de
o
bifuraci´n.
o
El comportamiento del sistema amortiguado
x = y , y = −ky − wx
con w > 0 y dado k el par´metro de bifuraci´n, depende de las ra´
a
o
ıces de la
ecuaci´n caracter´
o
ıstica.
m2 + km + w2 = 0
El diagrama fase es un nodo inestable para k < −2w, una espiral inestable
para −2w < k< 0,una espiral estable para 0 < k < 2w y un nodo estable
para k > 2w. La transici´n de k, del k negativo a positivo a trav´s k = 0 es
o
e
acompa˜ado por un cambio de estabilidad. Por lo tanto consideremos que el
n
sistema tiene un punto de bifurcaci´n en k = 0
o
Ejemplo 2.Encuentra los puntos de bifurcaci´n del sistema x = −lx + y ,
o
y = −lx − 3y . Sea

x
y

x=

A(l) =

−l
−l1
−3

de modo que, en forma de matriz, el sistema es equivalente a
x = A(l)x
Si l = 0, el sistema solo tiene un unico punto de equilibrio en el origen: si
´
l = 0 el equilibrio ocurre en todos los puntos en y=0. Encontramos los m eigenvalores de A(l) de la siguiente forma

2

9

0

l

1

m1,m2
signos contrarios

signos iguales

complejos

signos iguales

(silla)(nodo estable)

(espiral estable)

(nodo estable)

Figura 1: (2.1)
| A(l) − mI |= 0
Entonces m satisface
m2 + (3 + l)m + 4l = 0
que tiene las ra´
ıces
1
m1 , m2 = 2 [−l − 3 ±

(l − 1)(l − 9)]

La clasificaci´n del origen es:
o
∗ Si l < 0 m1 ,m2 son reales con signos opuestos entonces el tipo es una silla.
∗ Si 0 < l < 1 m1 ,m2 son reales con signos negativos entonces el tipo esun
nodo estable.
∗ Si 1 < l < 9, m1 ,m2 son complejos entonces es una espiral estable.
∗ Si l > 9 m1 ,m2 son reales negativos entonces es un nodo estable.
Las transiciones se muestran en la Figura 1.(2.1). El sistema tiene un punto
de bifurcaci´n en l = 0 cuando hay un cambio de un nodo estable a una silla.
o

3

2.2.

El pliegue y la c´ spide
u

Ejemplo:
ν (l, x) = 1 x3 + lx...