Binomio de newton y triángulo de pascal

BINOMIO DE NEWTON



En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular elvalor de [pic] (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o [pic]) se obtiene una tercera representación:

|[pic]|

|El coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es [pic] |


donde [pic] recibe el nombre de coeficientebinomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto conn elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

|[pic]|
















TRIÁNGULO DE PASCAL



El triángulode Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcularde forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.



































Vínculo entre el triángulo de Pascal yel binomio de Newton

La expresión que proporciona las potencias de una suma [pic] se denomina Binomio de Newton.

[pic]

En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de losmonomios.

|Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal. |


Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3;también lo es para n = 0: (a + b)0 = 1 = 1·a0b0 y con n = 1: (a + b)1 = a + b = 1·a + 1·b.

Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción matemática....