BINOMIO DE NEWTON

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1),etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto| x/y | sea menor a uno.
Coeficiente binomial[editar]
Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como  deforma sencilla:


Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente ade cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.
El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial \tbinom nb o \tbinom nc (los dos tienen el mismo valor).Índice [ocultar]
1 Formulación del teorema
1.1 Ejemplo
2 Teorema generalizado del binomio (Newton)
3 Coeficiente binomial
4 Historia
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Formulación del teorema[editar]
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k)\, o C^n_k ) se obtiene la siguienterepresentación:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k

El coeficiente de x^{n-k}y^k\, en el desarrollo de (x+y)^n\, es {n\choose k}

donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n

Ejemplo[editar]
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2)\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\end{cases}

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,
Teorema generalizado del binomio (Newton)[editar]
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3){(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty{r \choose k} x^{r-k} y^{k}}

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otrosfactores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial[editar]...