Biseccion
Se trata de uno de los problemas básicos de la aproximación numérica. Consiste en obtener una raíz o solución de una ecuación de la forma f(x)=0 para una función dada f. laprimera técnica se basa en el teorema de valor intermedio, suponiendo que hay una función de un intervalo (a,b) de signos diferente y que hay un numero p entre a y b tal que f(p)=0, el métodorequiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de (a,b) y en cada caso encontrar la mitad que contenga a p.
Figura 2.1
f(b)
f(p1)p3
f(p2) a=a1 p2 P1 b=b1
f(a)
Para obtener una solución a f(x)=0 dadala función f continua en el intervalo [a, b] donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos:
Extremos a, b; tolerancia TOL; # máx. De iteraciones N0. Solución p o error.
* i=1 FA=f(a)
* si i ≤ N0 ,continúe
* tome p=a+(b-a)/2 (calcule p1)
FP = f(p)
* si FP=0 o (b-a)/2 < TOL entonces decimos que es salida terminada satisfactoriamente
* Tome i=i+1
Si FA.FP >0 entonces tomea=p (calcule a1, b2) FA=FP
Si no tome b=p
Por desagracia algunos de esto métodos tiene problemas. En cada paso la longitud del intervalo que se sabe que contiene un cero de f se reduce en unfactor de dos, por tanto conviene escoger un intervalo inicial [a, b] lo más pequeño posible.
EJEMPLO:
La ecuación f(x)= x3 + 4x2 – 10=0 tiene raíz en [1,2] ya que f(1) = -5 y f(2)= 14 el algoritmo debisección da los valores de la tabla 2.1.
Después de 13 iteraciones p13 = 1.365112305 aproxima a la raíz p con un error l p-p13l < lb 14-a14l= l1.365234375-1.365112305l= 0.000122070.
Siobservamos notamos q la aproximación será correcta al menso en 4 dígitos significativos, observamos q p9 está más cerca que p13 pero no se puede verificar sin conocer la verdadera respuesta aunque es...
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