Biseccion






























Método de bisección.

En matemáticas, es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. También llamado cero de las funciones, ya sean funciones lineales o no lineales, como siempre, los métodos numéricos son usados en las ocasiones donde lo que necesitamos no requiere de laprecisión exacta como cuando se hallan dichos valores analíticamente, es decir con papel y lápiz y hacer ciertos despejes, en algunos casos esto resulta sencillo, pero en otros, no resulta tan fácil, y si se hicieran de forma simbólica, el costo computacional no permitiría que fuera para nada óptimo.
Existe gran variedad de métodos para hallar dichas raíces de ecuaciones, algunos son originales, otrostantos son derivaciones de estos, o corrigen falencias presentadas por los originales, haciéndolos más óptimos tanto computacionalmente hablando como más precisos en sus resultados.
Este será nuestro interés el desarrollo de un tipo de métodos, conocidos como “métodos de intervalo” partiendo del hecho que un intervalo, matemáticamente hablando es el conjunto que está comprendido entre dosvalores.

El método de bisección consiste en lo siguiente:
Tener una ecuación
Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
Se verifica que 

Si f(xl)*f(xr)<0 la raíz se encuentra en el intervalo inferior, entonces xu=xr, y se retorna al paso 2.
Si f(xl)*f(xr)>0 la raíz se encuentra en el intervalo superior, entonces xl=xr, y se retorna al paso 2.
Si f(xl)*f(xr)=0la raíz es igual a xr (muy poco probable), se terminan las iteraciones.

Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya encontrando la raíz buscada.
En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b
Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre uncambio de signo.
Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.


Código en Matlab.
En caso, inicialmente podemos hacer una representación gráfica de la función para que se vea con mayor claridad el intervalo apropiado para iniciar las iteraciones.
Seguidamente de la visualización de larespectiva gráfica de la función, se pretende que el usuario ingrese los límites: ya sea que la función reciba estos como parámetros o de la siguiente forma dentro de la función:
Debido a la posibilidad que el usuario ingrese un intervalo no apropiado, es decir un intervalo donde no se cumpla que la función cambia de signo, es bueno enviar un mensaje de advertencia, avisando que el intervalo no es válido.Finalmente se inicia el método de bisección, con un ciclo, un umbral de error que ya se definio previamente de 0.000001%
Cabe aclarar que para el correcto llamado de la función, debe de ser previamente definida una variable simbólica ‘x’ con el comando syms de Matlab, y posteriormente escribir la función ‘y’ correspondiente, para pasarla como parámetro a la función ‘bisección (y)’Finalmente, después de la ejecución del código  la función de Matlab llamada bisección, nos retorna una variable con el respectivo valor aproximado de la raíz, con una precisión del 0.000001% de error.
El método de bisección en particular sirve para encontrar una raíz simple en una función fácil de evaluar, pero debido a que principalmente los métodos numéricos son usados para ecuaciones que no son tan fácilesde evaluar, las funciones programadas requieren de bastantes líneas de código y  se deben evaluar muchas veces para ir cambiando los límites para finalmente “encontrar” la raíz, este método ya no es tan efectivo. Debido a factores de este tipo, es muy importante que los algoritmos numéricos hagan lo más mínimo posible el número de evaluaciones de la función. Es por esto que el método de...