Bisecció

Ciències Tecnològiques: Matemàtiques

Mètode de Bisecció
Mireia Ortega Gonzalez 2n Batxillerat A Curs 2012/2013

MÈTODES NUMÈRICS PER RESOLDRE EQUACIONS
MÈTODE DE BISECCIÓ No tots els problemes matemàtics que se’ns plantegen es poden resoldre utilitzant equacions, per això podem utilitzar els mètodes numèrics per trobar una aproximació a la solució. Un exemple d’una funció que es potresoldre és: On pel Mètode de Ruffini es por solucionar perfectament: On trobem que el resultat és: =

Un exemple d’una funció que no es pot resoldre és: Ho intentem pel Mètode de Ruffini:

Veiem que no té una solució exacta. Hi ha molts mètodes numèrics que ens ajuden a resoldre equacions com per exemple: Mètode de Euler, Mètode de Heun... però en el que ens centrarem en aquest treball és en elMètode de Bisecció. Per fer aquest tipus de càlculs, farem servir la calculadora Wiris. Aquesta, mitjançant uns mètodes numèrics va provant amb diferents valors, obtenint en cada pas, un nombre cada vegada més proper a la solució. El Mètode de Bisecció és un dels mètodes més senzills i intuïtius per resoldre equacions en un interval. Es basa en el Teorema de Bolzano el qual diu que donada una funciócontínua en un interval tancat com és [a ,b] tal que la imatge de a, i la de b siguin de signe contrari, existeix aleshores un valor c entre a i b tal que la imatge de c és 0. Per tant, si agafem un punt per sobre de l’eix d’abscisses “F(a)”, i un altre per sota “F(b)”, segur que la gràfica en aquest interval [a,b], talla l’eix d’abscisses en un punt d’imatge F(c)=0. Per poder aplicar aquestmètode, s’han de complir una sèrie de normes:  La funció f(x) ha de ser contínua en el interval [a,b]  S’ha de verificar que el producte de les imatges sigui menor que 0   El punt mig del interval és , i si dona 0, ja hem trobat la solució  Llavors es defineix el interval [a,b] com [a,c] o [c,b], segons s’hagi determinat en quin dels dos intervals canvia de signe la funció  Continuem calculant ambaquest nou interval fins tancar la solució en un interval cada cop més petit fins arribar a la precisió que busquem.

Tornant al exemple anterior de la funció: equació no la podem resoldre:

, veiem que aquesta

Per tant, ens ajudem dibuixant la funció: Així veiem més clar que té dues solucions, i, ajudant-nos d’aquesta gràfica, buscarem els intervals en que la funció talla l’eixd’abscisses. Per trobar aquestes dues solucions, utilitzarem les comandes de la Wiris:

Posant com a interval inicial [-2,-1], trobem que ens acota la solució a la meitat d’aquest interval, concretament al [- , -1]. Però encara així, estem molt lluny del nostre punt de tall. Si volem fer més d’una acotació alhora i estalviar temps, podem fer servir la següent comanda: On posa “condició” escriurem el númerode vegades que volem acotar el nostre interval, i a sota, les condicions que volem que es compleixin.

Si volem repetir una sèrie de passos, farem servir la següent comanda: On posa “condició” escriurem el número per al qual volem que deixi de repetir-se l’acció.

Explicat això, acotarem el nostre interval utilitzant les comandes necessàries per trobar un dels punts, i aproximarem a 4 xifresdecimals les nostres solucions perquè no hi hagi molt marge d’error:

Veiem que ens dóna una aproximació a a= -1,414213 b= -1,414214 Per tant, podem dir que

, on:

Però, no només talla en aquest punt, ara hem de buscar l’altre.

L’altre veiem que ens dóna una aproximació cap a on: a= 1,414213 b= 1,414214 Per tant, podem dir que

Com que aquesta funció és contínua en el interval iBolzano, i per tant diem que :

compleix les condicions de

Un altre exemple és el de la funció Amb la Wiris observem que no podem trobar els punts de tall

així que haurem de fer servir el Mètode de Bisecció. Dibuixem la gràfica per observar en quins possibles punts la funció talla l’eix de les X. Així Veiem que té 3 punts on la funció talla l’eix d’abscisses. Llavors, procedim a trobar...