Bisecriz

Índice

* Triángulos,
Clasificación:
* según la medida de sus lados
* según la medida de sus ángulos interiores
Elementos de un triángulo

* Bisectriz
* Teorema de la bisectriz y demostraciones
* Bisectrices en los distintos tipos de triángulos
* Propiedad de mediatrices y bisectrices

* Incentro

Triángulos
Clasificación de triángulos1.- Según la medida de sus lados
- Triángulo equilátero: es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida.

- Triángulo isósceles: es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.

- Triángulo escaleno: es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida

2.- Según la medida de sus ángulos interiores

- Triángulo acutángulo: es aquel que tiene todossu ángulos agudos, es decir, todos miden menos de 90°.

- Triángulo rectángulo: es aquel que posee un ángulo recto, es decir, de 90°.

- Triángulo obtusángulo: es aquel que posee un ángulo obtuso, es decir, superior a 90°.

Elementos de un triángulo
* Altura
* Ortocentro

* Bisectriz
* Incentro

* Simetrales: 

* Cincuncentro

Bisectrices:
La BISECTRIZ de untriángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como:
* La recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.
Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices que corresponden una por cada ángulo las cuales denotaremos como sigue:
* Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por ba
* Bisectriz correspondiente al ánguloB, se denota por bb
* Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bc


"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo"
La propiedad mencionada anteriormente quiere decir que si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se
Forman son de la misma longitud.

*

Teorema de la bisectriz
En estediagrama, siendo A el ángulo bisecado, BA:AC = BD:DC
El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.
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En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por labisectriz de ángulo interno opuesto. |
O lo que es equivalente:
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Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción: |

Sean F y G los pies de altura de los triángulos ABD y ACD en AB y AC respectivamente. EL ángulo BAD es congruente con el ángulo CAD, por ser AD bisectriz.Los ángulos AFD y AGD soniguales a π/2 rad (90°) y congruentes entre sí, por ser los pies de las alturas.

A continuación serán planteadas dos posibles demostraciones para dicho teorema.
Demostración 1


Figura bz1 Demostración del teorema de la bisectriz aplicando la «Ley de senos».
Nomenclatura (correspondiente a la Figura bz1):






Aplicando el teorema del seno al triángulo tenemos:
(bz01)

Losángulos “y” y “π-y” son suplementarios, lo cual implica que , entonces aplicando ahora el teorema del seno al triángulo tenemos:
(bz02)

Dividiendo m.a.m. La ecuación (bz01) por la ecuación (bz02) y simplificando obtenemos: , ∎.

* Demostración 2
Dibujando desde C una línea paralela a la recta AD hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el puntoE. El triángulo ACE es isósceles porque sus ángulos C y E son congruentes:

Porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AD y EC cortadas por la recta transversal AC

Porque son correspondientes a las rectas paralelas AD y EC a las cuales corta la recta BE, además

Porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.
Por la propiedad transitiva de la...