Black-scholes

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LECTURAS SOBRE LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES

ÍNDICE
1. Un proceso en tiempo continuo para el precio de los activos 1.1 El movimiento browniano geométrico 1.2 El lema de Itô 2. Una primera aproximación al precio de una opción en tiempo discreto. El modelo binomial. 3. La obtención de la ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes 4. Valoración neutral al riesgo. Las fórmulas deBlack-Scholes para opciones europeas sobre acciones que no pagan dividendos 5. La estimación de la volatilidad

1. UN PROCESO EN TIEMPO CONTINUO PARA EL PRECIO DE LOS ACTIVOS El objetivo de este tema es presentar de forma razonada el procedimiento propuesto por Black y Scholes (1973) para valorar una opción europea sobre acciones que no pagan dividendos durante el tiempo que falta hasta la fecha devencimiento. En el siguiente tema se extiende este razonamiento para valorar otro tipo de opciones. El primer paso para lograr nuestro objetivo es modelizar el comportamiento del precio del activo subyacente a lo largo del tiempo. Aquí es donde aparece el concepto de proceso estocástico. Una variable que cambie a lo largo del tiempo de forma incierta se dice que sigue un proceso estocástico. Losprocesos estocásticos pueden clasificarse de dos formas. Así, en función del tiempo podemos hablar de: 1. Procesos en tiempo discreto, en los que la variable sólo puede cambiar en ciertos momentos prefijados del tiempo, por ejemplo una vez al día o a la semana. 2. Procesos en tiempo continuo, en los que la variable puede cambiar en cualquier momento del tiempo. Además, en función de la propia variabledel proceso podemos hablar de: 1. Procesos de variable discreta, donde la variable del proceso sólo puede tomar valores discretos. 2. Procesos de variable continua, donde la variable del proceso puede tomar cualquier valor, dentro de un determinado rango. En la práctica los precios de los activos no siguen procesos en tiempo continuo de variable continua, sino que los precios sólo pueden tomarciertos valores (ya que existe un número limitado de decimales) y además los cambios en los mismos se producen en determinados momentos del tiempo (por ejemplo cada minuto dentro del intervalo horario en que el mercado está abierto).

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A modo de ejemplo, la figura 1 presenta la evolución de los 500 precios de cierre disponibles del índice IBEX-35, durante el periodo que va desde el 3 denoviembre de 2000 al 30 de octubre de 2002.

Precios cierre IBEX-35
12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 03-nov-00

01-nov-01

30-oct-02

Figura 1. Precios de cierre del IBEX-35 desde el 03-11-00 al 30-10-02.

A continuación obtendremos razonadamente un proceso en tiempo continuo con variable continua, que describa el comportamiento que muestran los precios de los activos financieros a lo largodel tiempo.

1.1 El movimiento browniano geométrico
Según la hipótesis débil de la teoría de los mercados eficientes, los precios de los activos incorporan toda la información histórica acerca de los mismos. Por lo tanto, conocer el paso de los precios y rentabilidades no sirve para obtenr, de forma sistemática, beneficios extraordinarios. Si esta hipótesis no fuese cierta, los analistas técnicospodrían obtener beneficios extraordinarios observando los gráficos de las series históricas de precios y rentabilidades. Sin embargo, la evidencia empírica muestra que la hipótesis débil de la teoría de los mercados eficientes se cumple razonablemente bien en la práctica. Un proceso de Markov es un tipo de proceso estocástico consistente con la hipótesis débil de la teoría de los mercadoseficientes, donde únicamente el precio actual de un activo es relevante para predecir su futuro. Por tanto, en un proceso de Markov el recorrido concreto que haya seguido el precio en el pasado es irrelevante para predecir su futuro. Sin embargo, esto no es

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obstáculo para que las propiedades estadísticas de una serie histórica de precios puedan ser útiles para determinar las características...
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