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6.6 Tabla ANOVA. El contraste de regresión.
En este apartado se descompone la variabilidad de la variable respuesta en variabilidad explicada por el modelo más variabilidad no explicada o residual, esto permitirá contrastar si el modelo es significativo o no. Bajo la hipótesis de que existe una relación lineal entre la variable respuesta y la regresora, se quiererealizar el siguiente contraste de hipótesis,

[pic]

frente a la alternativa

[pic]

por tanto, si se acepta H0, la variable regresora no influye y no hay relación lineal entre ambas variables. En caso contrario, si existe una dependencia lineal de la variable respuesta respecto a la regresora.
Para todos los datos muestrales se hace la siguiente descomposición

[pic]

elevando alcuadrado y sumando se obtiene,

[pic]

en base a la ortagonalidad de los vectores se obtiene que los productos cruzados son cero, de donde se sigue la siguiente igualdad (Teorema de Pitágoras) que permite descomponer la variabilidad de la variable respuesta [pic]en la variabilidad explicada por la recta de regresión [pic]más la variabilidad residual o no explicada por el modelo ajustado [pic],[pic]

Ahora se puede construir siguiente tabla ANOVA  
|Tabla ANOVA del modelo de regresión simple |
|Fuente de |Suma de |Grados de  |Varianzas |
| |Cuadrados |Libertad ||
|Variación | | | |
| | | | |
|Por la recta |scE = [pic]i = |1 |[pic]e2 = [pic] |
| |1n[pic]2 | | |
|Residual |scR = [pic]i = |n - 2 |[pic]R2 = [pic] |
| |1n[pic]2 | ||
|Global |scG = [pic]i = |n - 1 |[pic]Y 2 = [pic] |
| |1n[pic]2 | | |

Si H0 es cierta (la variable X no influye), la recta de regresión es aproximadamente horizontal y severifica que aproximadamente [pic]i [pic][pic], y por tanto scE [pic]0. Pero scE es una medida con dimensiones y no puede utilizarse como medida de discrepancia, para resolver este inconveniente se divide por la varianza residual y como estadístico del contraste de regresión se utiliza el siguiente

[pic]

Por la hipótesis de normalidad y bajo H0 se deduce que el estadístico [pic]R sigue unadistribución F (Contraste de la F) con 1 y n - 2 grados de libertad.
|[pic] |
|(6.14) |
||

Sí el p - valor = P[pic] es grande (mayor que [pic]) se acepta H0.
El Contraste de la F es un contraste unilateral (de una cola) pero en este modelo proporciona exactamente el mismo resultado que se obtiene por el contraste individual de la t relativo al coeficiente de regresión [pic]1 (Contraste de la t) estudiado...
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