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´ ALGEBRA LINEAL TEMA 3: APLICACIONES (TRANSFORMACIONES) LINEALES ´ FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES CURSO 2004/2005 UNIVERSIDAD DE NAVARRA  1. La matriz A =   , ¿puede ser la matriz asociada a una aplicaci´n lineal? o

1 −1 0 2

2. Demostrar que N ucf es subespacio vectorial. 3. Demostrar que Imf es subespacio vectorial. 4. Dada la aplicaci´n f (x, y, z) = (x − z, 0, z +y). o Demostrar que es lineal. Identificar los espacios vectoriales de salida y de llegada. Escribir la matriz de la aplicaci´n lineal en base can´nica. o o Dada la base B = {(1, 0, 0), (0, −1, 0), (−1, −1, 2)}, calcular la matriz asociada a la aplicaci´n o en la base B. Clasificar la aplicaci´n. o Calcular la imagen del vector (4, 5, −1) en base can´nica. o 5. Dada la aplicaci´n f (x, y, z) = (x +z, z + y, 0). o Demostrar que es lineal. Identificar los espacios vectoriales de salida y de llegada. Escribir la matriz de la aplicaci´n lineal en base o Escribir la matriz de la aplicaci´n lineal en base can´nica. o o Dada la base B = {(1, 0, 0), (0, −1, 0), (−1, −1, 2)}, calcular la matriz asociada a la aplicaci´n o en la base B, ¿Qu´ relaci´n existe entre la matriz B y la matriz asociada a laaplicaci´n en e o o base can´nica? o Clasificar aplicaci´n. o Calcular la imagen del vector (4, 5, −1) en base can´nica. o 6. ¿Es cierto que el rango de una aplicaci´n f entre dos espacios vectoriales E1 y E2 es tal que o rang(f ) ≤ dim E2 ? 7. Sea f una aplicaci´n lineal entre dos espacios vectoriales E1 y E2 , (f : E1 −→ E2 ). Demostrar cu´l o a ¯ es la imagen del vector nulo de E1 (f (0)). 8.Sean, f (¯1 ) e f (¯2 ) e = = 1 (2, 1, 1) , (−1, −1, 0) .

Obtener las ecuaciones de la aplicaci´n en base can´nica. o o Demostrar que dicha aplicaci´n es lineal. Identificar los espacios vectoriales de salida y de o llegada. Obtener los subespacios n´cleo e imagen de la aplicaci´n, una base de cada uno y su dimensi´n. u o o Clasificar la aplicaci´n. o 9. En el espacio de los polinomios con lainc´gnita x y grado n, decir, justificando la respuesta, si es o lineal la aplicaci´n o f (a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 ) = a0 x + a1 x2 + ... + an xn+1  10. Dada la aplicaci´n lineal f definida en R2 y con matriz asociada, A =  o 1 a 

, calcular los 2 b valores de a y b para que Dim(N ucf ) = Dim(Imf ). Para dichos valores, dar la expresi´n anal´ o ıtica de f . (Septiembre 02/03)

11. Sea P (x) elespacio vectorial sobre R de los polinomios en una indeterminada y grado menor o igual que 2 y sea la aplicaci´n f o f (a0 + a1 x + a2 x2 ) = a1 (x + 2) + a2 (x − x2 ) ¿Es aplicaci´n lineal? o Obtener N ucf e Imf de f . Hallar la matriz asociada a la base B = 1, x, x2 y B = 2 − x, 1 + x, x2 Hallar la imagen del polinomio 4 − 5x en B y B . Clasificar la aplicaci´n. o 12. Sea la base B = {u1 , u2 ,u3 } una base cualquiera de R3 , y sea la aplicaci´n f : R3 −→ R3 o f (u1 ) f (u2 ) f (u3 ) = u1 + u2 = u2 + u3 = 0

Hallar la matriz asociada a la base anterior. Proporcionar las ecuaciones de la aplicaci´n. o Obtener los subespacios N ucf e Imf de la aplicaci´n. o Hallar el conjunto L formado por vectores x que verifiquen f (x) = x. 13. Dada una aplicaci´n lineal f entre los espacios V y U , f: V → U . Siendo la dim(V ) = 3 y la o dim(U ) = 4. RAZONA si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: La aplicaci´n lineal f es endomorfismo. o La aplicaci´n lineal f es epimorfismo. o La aplicaci´n lineal f es un monomorfismo. o 2

(Parcial 01/02) 14. Dada la aplicaci´n f definida entre los espacios R4 y R3 f : R4 → R3 , que le hace corresponder a o cada vector u = (x, y, z, t) ∈ R4 elvector (x − y, t + z, 0) ∈ R3 . Se pide: Calcular la imagen de los vectores de la base can´nica. o Obtener n´cleo e imagen de la aplicaci´n. u o Clasificar el homomorfismo. Calcular un v ∈
4

tal que f (v) = (2, 2, 0).

Escribir la matriz asociada a la aplicaci´n en base can´nica. (Parcial 01/02) o o  −2 4 2 

 15. Dada la aplicaci´n lineal definida por la matriz M =  1 λ o  −1 2

...
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