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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
SUCESIONES

TEMA II :

LÍMITE

Hoja 1

A) Escribir los cinco primeros términos de las sucesiones f : N →R y graficar en el plano: 1) f1 : n →
1 1 + 2n

2) f 2 : n → (−1) n n

n 3) f 3 : n → (−1) − n 2

n +3

B) Completar la definición de límite de una sucesión y dar una como ejemplo que cumpla con las condiciones dadas: 1) lim f 1 (n) = ..... ⇔ ∀ ε > 0, ∃no(ε) / ∀ n > no ,  f1(n) – 1< ε
n → +∞

f1(n) = .............. f2(n) = .............. f3(n) = ..............

2) lim f 2 (n) = 0 ⇔ ∀ ... > 0, ∃ no(...) / ∀ n > no , .....................
n → +∞

3)

n → +∞

lim f 3 (n) = ...... ⇔ ∀ K > 0, ∃ no(K) / ∀ n > no , f3(n) > K

C) Calcular el límite de las siguientes sucesiones: 1) a n = 4n + 2 2) a n = 3) a n =

3n n +1
2

n ( n − 4)− n

2n 2 − 5n + 7 n 2 + 5 − 6) a n = n+3 n +1 3n − 2 3n − 1 7) a n = 2 − n + 5n 2 n + 3 n  k 8) a n = 1 +   n
9) a n = 

 2 n+1 + 3 n+1  4) a n =  n n   2 +3 
5) a n =

 3n + 1    3n − 5 

n

2n − 1 3n 2 + 2
2

 2n − 2  10) a n =    2n + 1 

n

FUNCIONES D) Completar la definición de límite y graficar en cada caso una función que cumpla con lascaracterísticas indicadas:

1) f : R → R
x →....

lim f ( x ) = ...... ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 / si 0 < x − .... < δ ⇒ f ( x ) − ..... < ε

2) f : R → R ∧
x →3

f (3) = 2

lim f ( x) = 5 ⇔ ...................................................................................... 3) f : (−∞,2) → R
x →....

lim f ( x) = ...... ⇔ ∀K > 0, ∃ δ( K ) > 0 / si 0 < 2 − x < δ ⇒ f ( x) < − K

ANÁLISISMATEMÁTICO I

TEMA II :

LÍMITE

Hoja 2

4) f : R → R
x → −1+

lim f ( x) = +∞ ⇔ ......................................................................................

5) f : R − {0} → R a) lim f ( x) = ...... ⇔ ∀ε > 0, ∃ M (ε) > 0 / si x > M ⇒ f ( x) − .... < ε
x →.... x→0

b) lim f ( x ) = ∞ ⇔ ........................................................................................6) f : R → R
x →....

lim f ( x) = ...... ⇔ ∀K > 0, ∃ M ( K ) > 0 / si x > M ⇒ f ( x) > K

7) f : R → R
x → −∞

lim f ( x) = −∞ ⇔ ......................................................................................

8) f : R − {a} → R
x →....

lim f ( x) = ...... ⇔ ∀K > 0, ∃ δ( K ) > 0 / si 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) > K

9) f : R → R lim f ( x ) = −∞ ⇔......................................................................................
x→ x0

E) Aplicando las propiedades correspondientes calcular los siguientes límites: 1) lim + 2) 3) 4) 5)

t2 −9 = t →3 t − 3 x3 − b3 lim = x →b x − b z+2 lim+ 2 = z →2 z − 4 z+2 lim 2 = z →2 z − 4 1 y −1 3 lim = y →3 y−3
x → +∞

9) lim 10) 11) 12) 13) 14) 15)

3− 5+ x

6) lim ( x + 2 − x ) =

2 − x −3 7) lim = x→7 x 2 − 49 z−z+2 8) lim = z →2 4z + 1 − 3

1− 5 − x = x5 + x3 + 4x lim+ = x →0 x3 − x2 x2 − x − 2 = lim 2 x →2+ x − 4 x + 4 x6 + x4 + 2 lim = x → +∞ x5 + x 12  t −4  = lim t → +∞  t 2 + t − 6    z2 − 4 z2 + 4 lim − = z → −∞ z + 3 z −3 lim 4 x − x =
x→4 x → +∞
12

 x − 3 16) lim  x → +∞ x + 1   

=

F) Para cada función dada gráficamente, mediante su lectura: • Hallar el dominio y laimagen. • Calcular, si existen, las imágenes de los x dados. • Calcular los límites indicados.

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEMA II :

LÍMITE

Hoja 3

Gráfico 1) x = -1 ; x = 0 ; x= 2 ; x = 3 ; x = 5 a) lim f ( x) ; b) lim+ f ( x ) ; c) lim− f ( x ) ; d) lim+ f ( x) ; e) lim f ( x) ; f) lim− f ( x) ; g) lim+ f ( x ) ;
x → −1 x→ 2 x → −1 x →0 x →0 x→0 x →2 x →2

h) lim f ( x ) ; i) lim− f ( x); j) lim+ f ( x ) ; k) lim f ( x ) ; l) lim− f ( x) ; m) lim+ f ( x)
x →3 x →3 x→3 x →5 x →5

Gráfico 2) x = 0 ; x = 1 ; x = 2 ; x = 2 ; x = 2,001; x = 3,25 ; x = 4 ; x = 5 a) lim− f ( x ) ; b) lim+ f ( x) ; c) lim f ( x) ; d) lim− f ( x ) ; e) lim+ f ( x) ; f) lim f ( x ) ;
x →0 x →0 x→0 x →1 x →1 x→1

g) lim− f ( x) ; h) lim+ f ( x ) ; i) lim f ( x ) ; j) lim− f ( x) ; k) lim+ f ( x ) ;...
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