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Integración por sustitución

En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; esteprocedimiento se conoce como integración por sustitución.

Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo devariables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral detabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Procedimiento práctico
Supongamos que la integral a resolver es:

En la integralreemplazamos con (u):
(1)
Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Tenemos que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega dondecorresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en estaoperación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitivadebemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo :
(límite inferior)
(límite superior)
Luego derealizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:



Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios realice la integral que se indica:S o l u c i o n e s

1. Solución:


2. Solución:


3. Solución:


4....