Cálculo diferencial para bachillerato

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Trabajo Especial
Cálculo Diferencial
Recopilación de Investigaciones
5°B
Yesica Guillestegui Rodríguez
{draw:frame} COBAEJ
Unidad 1
Límites
Empecemos con una función f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4. pero seamos un poco ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así
Esta última función es igual a x2 en todas partesexcepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como
Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una funcióncuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamente como sigue
{draw:frame}
Intuitivamente, ellímite L es simplemente el número al que f(c) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.
Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número a por ambos lados, entonces decimos que “El Límite de f(x) es L cuando x tiende a a,
Teoremas de los límites
Teorema de límite1:
Si k esuna constante y a un número cualquiera, entonces
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Para cualquier número dado a,
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Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
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{draw:frame}
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Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
{draw:frame}
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
{draw:frame}
{draw:frame}Límite de funciones trigonométricas
Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:
{draw:frame}
Cálculo del límite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo:
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
{draw:frame}
El límite de una funciónpolinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:
Límite de la función exponencial
Si a > 0
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Si 0 < a < 1
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Si a > 0
{draw:frame}
{draw:frame}
Si 0 < a < 1
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Límites de funciones racionales
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Para estudiar el límite de una función racional, sedistinguirán dos casos:
{draw:frame}
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.
Al efectuar estos límites pueden darsevarias situaciones.
{draw:frame}
Se calculan en este caso los límites de P(_x_) y Q(_x_) como funciones polinómicas y se halla su cociente.
{draw:frame}
Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.
{draw:frame}
{draw:frame}
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(_x_0) = 0 y P(_x_0) =0, x0 es raíz {draw:frame}
El símbolo {draw:frame} se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente {draw:frame} está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe {draw:frame} (que se lee: {draw:frame} tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como {draw:frame} (que se...
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