Ca Lculo De A Rea Y Volumen De Hiperesferas

Hiperesfera

Se le llama hiperesfera o n-esfera, al conjunto de todos los puntos del espacio n -dimensional que se encuentran a distancia dada de un punto fijo del espacio. En los espacios de dimensión uno (las rectas) la 1-esfera está formada por dos puntos situados a una distancia dada, uno a cada lado de un punto central. La 2-esfera no es sino la circunferencia, y la 3-esfera es una esfera.Conforme aumenta la dimensión tenemos las hiperesferas correspondientes a dimensión 4, 5, 6,...








































Hiperesfera de 2 dimensiones

Para cálcular el área o volumen de una n-esfera se utilizo el método de Montecarlo lanzando puntos aleatorios a un rango determinado.
Para calcular el área de una circunferencia(2 dimensiones) , primero se grafica unacircunferencia con centro en el origen y de radio 1, en un subplot.



Fig.1 Circunferencia con centro en el origen y radio 1.

Después de tener la circunferencia, se elige el numero de puntos aleatorios con los que se realizará el calculo y se crea una variable que contabiliza el numero de puntos que quedan dentro del circulo .

Con un ciclo que va desde 1 hasta el numero depuntos generados, se define el rango en donde se generarán los puntos aleatorios uniformes en (a,b), después de haber definido los rangos se crean 2 variables: x, y en las que el rango para los puntos se multiplica por un rand, como rand va de 0-1 con este rango los puntos aleatorios tienen un nuevo rango, de -1 a 1. Este rango se da por:Xrand=a+(b-a)*rand ; donde a=-1 y b=1

Se cálcula la distancia que hay desde el centro del circulo hasta cada punto generado. Para saber si el punto esta dentro o fuera de la circunferencia del circulo se genera un if, si la distancia del centro al punto es menor o igual a 1, el punto está dentro del circulo y se plotea color azul; si es mayor esta fuera del circulo y se plotea color rojo.

Con este ciclose empieza a contar el numero de puntos dentro del circulo, y se suman las distancias que van de 1 hasta el numero de puntos , siempre y cuando la distancia sea igual o menor que 1, después se calcula el área multiplicando:
4*el numro de puntos dentro /numero de puntos totales.
Para graficar la aproximación del área mientras los puntos caen dentro de la circunferencia se empieza a generar unaaproximación de área , mientras mas puntos caigan dentro, la aproximación será mas exacta la grafica y se estabilizara en esa aproximación.



Fig.2 Como hay puntos dentro del círculo, el área se estabiliza en 4, de acuerdo a la fórmula: (4*2/2)=4.











Fig.2 Entre mas puntos caen adentro la gráfica se hace mas estable y es mejor la aproximación.

Para el histograma de estaárea se grafica con el comando de matlab( hist(y,m) ), donde y es la aproximación del área y m los números de puntos totales.


Fig.3 Histograma de fig.2 .
Hiperesfera de 3 dimensiones

Para determinar el volumen de una esfera (3-esfera), se grafica la esfera de radio 1 con centro en el origen.



Fig.4 Esfera con centro en el origen y radio 1.

Se hace el mismo procedimientoque se utilizo en la circunferencia solo que se agrega una variable mas para generar otros números aleatorios en el eje z, y estos estarán en el plano x,y,z. Definimos los rangos en donde se generaran los puntos aleatorios, después de igual manera cada rango se multiplica por rand.

Se determina la distancia del centro a cada punto generado sumándole la variable z, y se crea un if, si el puntoes menor o igual a 1, esta dentro de la esfera y se plotea con color rojo y si es mayor color amarillo, así distinguimos que puntos están contenidos dentro de la esfera.

Se contabilizan los puntos dentro de la esfera para obtener la aproximación del volumen y también se utiliza para graficar el volumen conforme los puntos caen adentro.

Para el cálculo del volumen es: 8*puntos dentro/numero...