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Fundamentos Matem´ticos para el
a
Estudio del Medio Ambiente.

Universidad
de Murcia
´
Dpto. de Matematicas

Examen Final. 15.09.2005.

1. (2,5p)Escribe la ecuaci´n de todas las rectas que pasan por el punto (1, −1) y que
o
tienen una pendiente arbitraria m. Es claro que cuando la pendiente m verifica m> 0
entonces estas rectas cortan a los ejes coordenados en dos puntos de la forma (x, 0)
y (0, y ) de modo que x > 0 e y < 0 y ambos determinan un tri´ngulojunto con el
a
origen (0, 0). Encuentra el ´rea de este tri´ngulo en funci´n de la pendiente m. ¿Para
a
a
o
qu´ valor de m el valor del ´rea es m´
e
aınimo?
2. (2,5p) Representa gr´ficamente la funci´n f (x) = x2 ln(x).
a
o
3. (2,5p) Discute y resuelve – cuando sea posible – el siguiente sistema deecuaciones en
funci´n del par´metro t.
o
a

x+y =
1

ty + z =
0

x + (1 + t)y + tz = 1 + t
Cada una de las ecuaciones del sistema representa unplano en el espacio. Como bien
sabes, las soluciones del sistema representan los puntos en com´n de los tres planos.
u
Interpreta los resultados obtenidos ydetermina la posici´n relativa de estos tres planos
o
(si se cortan en un punto, en una recta, si son paralelos, si no se cortan...).
4. (2,5p) Sea A la matrizdada por



a −1 1
1 3
A= 0
0
22
Determina si la matriz A es diagonalizable o no en funci´n del par´metro a. ¿Es
o
a
diagonalizable para a =4? En caso afirmativo, encuentra una matriz de paso P y una
matriz diagonal D de forma que A = P DP −1 .
Nota: no es necesario calcular la inversa de P .