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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Muchas funciones dependen de más de una variable independiente.
Las funciones reales de varias variables independientes se definen de una forma que puede deducirse fácilmente del caso de una variable.
DEFINICIONES Función de n variables independientes.
Suponga que D es un conjunto de n-adas de números reales . Una función real f en D es una regla que asignaa un único real

a cada elemento en D. El conjunto D es el dominio de la función, mientras que el conjunto de valores w asumidos por f es el rango de la función. El símbolo w es la variable dependiente de f y se dice que f es una función de n variables independientes . Las son las variables de entrada de la función y w es la variable de salida de la función.
Si f es una función de dosvariables independientes que por lo general son x y y, entonces dibujamos el dominio de f como una región en el plano xy. Si f es una función de tres variables independientes que por lo general son x, y y z, entonces dibujamos el dominio como una región en el espacio.
Dominios e Imágenes
Para definir una función de más de una variable, seguimos la práctica usual de excluir las entradas queconducen a números complejos o a la división entre cero.
Supondremos que el dominio de la función es el conjunto más grande con el que la regla que la define genera números reales, a menos que específicamente se indique lo contrario. El rango o la imagen consta del conjunto de valores de salida para la variable dependiente.
Funciones de dos variables
DEFINICIONES Puntos interiores, frontera, abiertosy cerrados
Un punto en una región (conjunto) R del plano xy es un punto interior de R si es el centro de un disco de radio positivo que está completamente dentro de R. Un punto es un punto frontera de R si cada disco con centro en contiene puntos que están fuera de R y puntos que están dentro de R.
Una región es abierta si consta solo de puntos interiores. Una región es cerrada si contienetodos sus puntos frontera.

Al igual que con los intervalos de números reales, algunas regiones del plano no son abiertas ni cerradas.

DEFINICIONES Regiones acotadas y no acotadas en el plano
Una región en el plano esta acotada si esta dentro de una disco de radio fijo. Una región es no acotada si no tiene fronteras.

El dominio de consta de la región sombreada y la parábola que loacota.

Graficas, curvas de nivel y contornos de funciones de dos variables
Hay 2 formas usuales de dibujar los valores de una función f(x,y). Una consiste en trazar las curvas de nivel en el dominio, donde f asume un valor constante. La otra consiste en trazar la superficie z=f(x,y) en el espacio.
DEFINICIONES Curva de nivel, grafica, superficie
El conjunto de puntos en el plano donde lafunción f(x,y) tiene un valor constante f(x,y)=c es una curva de nivel de f. El conjunto de todos los puntos (x,y,f(x,y)) en el espacio, para f(x,y) en el dominio de f, se llama la grafica de f. A la grafica de f también de le llama superficie z= f(x,y).
La grafica y algunas curvas de nivel de la funcion


Funciones de tres variables.
En el espacio, los puntos donde una función de tres variablesindependientes tiene un valor constante f(x,y,z)=c, forman una superficie en el dominio de la función.
DEFINICIÓN Superficie de nivel
El conjunto de puntos (x,y,z) en el espacio donde una función de tres variables independientes tiene una valor constante f(x,y,z)=c, es una superficie de nivel de f.
Como las graficas de las funciones de tres variables constan de puntos (x, y ,z ,f( x, y, z)) queestán en un espacio con cuatro dimensiones, no podemos trazarlos en nuestro marco tridimensional.
DEFINICIONES Puntos interiores y frontera para regiones en el espacio
Un punto en una región R del espacio es un punto interior de R, si es el centro de una bola sólida que está completamente dentro de R.
Un punto es un punto frontera de R si toda esfera con centro en contiene puntos que...
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