Calculo 1

C´lculo I a

Artemio Gonz´lez L´pez a o

Madrid, febrero de 2003

´ Indice general
0. Preliminares 1. La recta real 1.1. Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo . . . . . . . . . 1.2.1. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Consecuencias delos axiomas de orden . . . . . . . . . . 1.4.1. Relaciones entre ≤ y · . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden . . 1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. M´ximo y m´ a ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Consecuencias del axioma del supremo . . . . . . .. . . 1.7.1. La propiedad arquimediana de los n´meros reales u 1.7.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Existencia de ra´ ıces n-´simas . . . . . . . . . . . e 1.8. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funciones reales de variable real 2.1. Definici´n. Dominio, imagen y gr´fica. . . . . . o a 2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas ybiyectivas 2.3. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . o 2.4. Funciones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . o 2.5. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6.1. Funciones trigonom´tricas . . . . . . . . e 2.7. Operaciones algebraicas con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1 4 4 5 6 7 8 9 10 10 11 12 15 16 17 18 21 24 24 26 29 29 30 33 34 38

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3. L´ ımites y continuidad 40 3.1. L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1. L´ ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44 3.1.2. L´ ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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´ INDICE GENERAL 3.1.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . 3.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Continuidad en un punto . . . . . 3.2.2. Continuidad en intervalos . . . . . 3.3. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . 3.3.1. Teorema de Bolzano . . . . . . . . 3.3.2. Teorema delos valores intermedios 3.3.3. Teorema de acotaci´n . . . . . . . o 3.3.4. Existencia de m´ximo y m´ a ınimo . 3.4. Funciones mon´tonas y continuidad . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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47 49 49 53 54 54 55 56 57 57 61 61 65 67 71 72 76 76 79 80 81 84 86

4. Derivaci´n o 4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . a 4.2.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . 4.2.2. Derivadas de orden superior . . . . .. 4.2.3. Derivada de la funci´n inversa . . . . o 4.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . 4.3.1. Crecimiento, decrecimiento y extremos 4.3.2. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Teorema del valor medio . . . . . . . . 4.4. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Reglas de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Integraci´n o 95 5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3. Continuidad e integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4. El teorema fundamental del C´lculo . ....