Calculo 1

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´ ´ SOLUCION DE LA PRIMERA PRUEBA OFICIAL DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
´ HUGO CAEROLS - RODRIGO HERNANDEZ

1. Encontrar los valores m´ximos y m´ a ınimos de f (x) = x2 e−x en el intervalo [0,3]. Soluci´n: o Primero analizaremos los extremos. Como f (0) = 0 y f (3) = 9/e3 , que es positivo, por lo tanto f (0) < f (3). Por otro lado f ′ (x) = 2xe−x − x2 e−x = e−x (2x − x2 ), de donde f ′(x) = 0 si y s´lo si 2x − x2 = 0, o sea, para x = 0 y x = 2. Como la funci´n exponencial es siemo o pre positiva, el signo de la derivada es el signo de la expresi´n 2x − x2 que es positivo para o 0 0 para todo x y que tenga dos o puntos cr´ıticos ? Justifique su respuesta. Soluci´n: o No existe tal funci´n. Hay muchas maneras de justificar este hecho, una de ellas es la o siguiente: Consideremos la funci´n f ′ (x) la cual se anula en dospuntos x1 y x2 (f tiene dos puntos o cr´ ıticos) entonces por el teorema de Rolle, la funci´n f (x) posee un punto x3 entre x1 y o ′ se anula, es decir f ′′ (x ) = 0 pero esto contradice el hecho de x2tal que la derivada de f 3 que f ′′ (x) > 0 para todo x. b) La figura siguiente muestra la gr´fica de la segunda derivada de una funci´n f. Determine a o ′ (2) = 0 ¿qu´ puede afirmar acerca e lascoordenadas x de los puntos de inflexi´n de f. Si f o de la funci´n f en el punto x = 2 ? Justifique sus respuestas. o

Date: 20/04/2006 .
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´ HUGO CAEROLS - RODRIGO HERNANDEZ

Soluci´n: o Unpunto de inflexi´n es aquel en el que hay un cambio en la concavidad de la funci´n f . o o Como la concavidad de una funci´n dos veces diferenciable tiene que ver con el signo de la o segunda derivada...
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