Calculo 2

Universidad de Costa Rica. Escuela de Matemática. MA-1002 Cálculo II.

II Ciclo 2011 Ejercicios #3. Misceláneos I Parcial. Prof. Ignacio Bustamante B.

1
.

Problemas Misceláneos

1. Calcule´∞
−∞

xe−x dx ˆ
0 ∞

2

2. Determine la naturaleza de

1 dx x + ex

y de ˆ
1 ∞

2 + sinx √ dx x

Calcule las siguientes integrales cuando estas sean convergentes: ´∞ 3. 1 x2 e−2xdx ´0 4. −∞ xe−4x dx ´5 2 5. 1 √5−x dx ´∞ 6. 0 cosx e−sinx dx ´∞ 7. 1 x2 e−2x dx ´∞ 8. −∞ x21 dx −1 ´1 9. Deternime la convergencia de 0 e−3x dx ´1 ´∞ 10. Calcule el valor de convergencia de 0 xln(4x) dx y de 0 xe−2x dx ´∞ 1 11. Muestre que la integral −∞ xp dx diverge ∀p 12. Use el valor de convergencia de la integral de Poisson -Euler ˆ
0 ∞

√ e−x dx =
2

π 2

para calcular lassiguientes integrales: ´∞ 2 a) −∞ e−x dx ´∞ 2 b) −∞ e−kx dx para k > 0 ´∞ 2 c) −∞ x2 e−kx dx para k > 0 13. Calcule lo que se le pide en cada caso: a) Use el cambio de variable u =
π 2

− x para mostrarque ˆ
0
π 2

ˆ ln (sinx) dx =
0

π 2

ln (cosx) dx

1

b) Sumarle

´

π 2

0

ln (sinx) dx a cada lado de la igualdad anterior y usar la identidad trigonométrica sin (2x) =2sinxcosx ˆ 2
0
π 2

para mostrar que

π 1 ln (sinx) dx = − ln (2) + 2 2

ˆ
0

π

ln (sinx) dx

c) Muestre que: ˆ
0 π

ˆ ln (sinx) dx = 2
0

π 2

ln (sinx) dx

d) Use todo loanterior para determinar el valor de convergencia de ˆ
0
π 2

ln (sinx) dx =

−π ln (2) 2
1 x2 −1

14. Hallar el área a la derecha de la recta x = 3 y limitado por la curva y = 15. Muestre que ˆ
∞y y = 0.

−∞

π 1 = ex + e−x 2

16. Calcular que el área limitada por las curvas dadas y sus asíntotas a) y = b) y =
8 x2 +4

es 4π es
1 4 1 x(x−2)2 1 x2 −4

x (4+x2 )2

17. Mostrarque el área limitada por y = 18. Mostrar que el área limitada por y =

y a la derecha de x = 2 es 1 − ln2

1 y a la derecha de x = 3 es 4 ln5

19. Definimos la Función Gamma de Euler por ˆ Γ...