calculo 2

Universidad de Chile
Departamento de Matemáticas

Guia 11
(1)

Calcule las siguientes series:

Proof:

Todas salen con el criterio de las series geometricas el cual dice:

Criterio de lasseries geometricas:š

Sea la serie

∞
n=0

Si |r| < 1 entonces la serie converge y converge al valor
Si |r| ≥ 1 entonces la serie diverge.
(2)

arn = a + ar + ar2 + ar3 + · · · , entonces:a
1−r .

Converge usando el criterio de las series geometricas.

n
Determine si la siguiente serie es convergente o divergente ∞ n3 +1 .
n=1
∞
1
1
Proof: Diverge, pues ∀n, n3 + 1 ≤ 2n3, luego 2n3 ≤ n31 , luego
n=1 2n ≤
+1
1
racion con K = 1 (esto es un detalle no importa mucho) se tiene que como 2
2
tambien diverge.
2

(3)

∞
n2
n=1 n3 +1 , por el criterio
∞
1
n=1 ndiverge, entonces

1
Determine si la siguiente serie es convergente o divergente ∞ n1+1/n .
n=1
1
n
1/n
1/n
Proof: Diverge, pues ∀n, n < 2 , luego n
< 2 luego nn
< 2n, luego 2n <
∞
1
1n=1 n1+1/n , luego como
n=1 2n diverge por el criterio de comparacion se tiene que

de compa∞
n2
n=1 n3 +1

(4)

(5) Determine si la siguiente serie es convergente o divergente
Proof: Porel Criterio de D Alembert o de la razon o del cuociente

.
el cual dice:

an+1
an ,

Entonces por el criterio, tenemos que con an =
Por tanto converge.

entonces

n
en2

<

∞
n
n=1en2

entonces la serie de terminos positivos,
diverge si ρ > 1, y no se puede concluir nada si ρ = 1.
Criterio de la razon: ρ = l´ n→∞
ım

1
1
, luego n=1 2n
n1+1/n
∞
1
n=1 n1+1/ndiverge.

an+1
an

=

1+1/n
e2n+1 ,

∞
n=0

an converge si ρ < 1,

entonces l´ n→∞
ım

1+1/n
e2n+1

= 0 < 1.

(6) Determine si la serie converge o diverge, expresando Sn como una sumatelescopica. Si es telescopica encuenn
tre su suma. ∞ ln( n+1 ).
n=1
n
n
n
Proof: Tenemos que Sn = n=1 ln( n+1 ) = n=1 ln(n) − ln(n + 1) = [ln(1) − ln(2)] + [ln(2) − ln(3)] + · · · + [ln(n) −...