calculo 2

Páginas: 3 (682 palabras) Publicado: 12 de mayo de 2015
Aplicaciones del Cálculo en la Derivada
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas,junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no sesimplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Incremento de una función
Sea y = f(x) y aun punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) yf(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre losincrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
 
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] =
 
Consideremos unvalor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, esdecir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando elincremento de la variable tiende a 0.

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1.
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua)...
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