Calculo 3

Departamento de Matemática
Cálculo 3 Prueba # 1

Nombre:...................................................................................Nota:................

1. Determinar los vectoresvelocidad y aceleración, y la ecuación de la recta
tangente para . r (t) = sen3t, cos 3t, 2t

3
2

, en t = 1

2. Calcular la longitud de arco descrito por el vector
r (t) = (3cost, −3sent, −t 2 ), 0 ≤ t ≤ 2 .

3. Sea f(x; y) =

y

x2 − y2
x2 + y2

si (x; y) ≠ (0; 0)

si (x; y) = (0; 0)
∂f
∂f
a) Calcule las derivadas parciales
;
en todo punto (x; y).
∂x
∂y
∂2f
∂2f
(0, 0);.
(0, 0)
b) Calcule si existen
∂x∂y
∂y∂x
0

2
2
2
xy
4. Sea u = x + y , compruebe si x 2 ∂ u + 2xy ∂ u + y 2 ∂ u = 0
2
∂x∂y
∂x
∂y 2

PRUEBA 1
CÁLCULO III 1s 2012
Ingeniería
t,sin t , si t 0
t
0, 1 , si t 0

1. f t

a) Analizar la continuidad de la función.
b) Determinar si existe la derivada para t

10 puntos
10 puntos

IR

2. Representa gráficamente la curvadefinida por f : 0, 1
t2

f t

2t, t

IR 2

10 puntos

1

3. Sea f t una función vectorial definida por
2t , 1 t 2 , 1 , demuestre que el ángulo formado por f t y f t es
f t
1 t2 1 t2constante, es decir no depende de t.
10 puntos

4. Evaluar las integrales:
2

a)

f t dt , si f t

6

6t i

4
t2

3 tj

1

k

10 puntos

2

b)

f t
0

dt , si f tcos t, sent, 1

t

10 puntos

Departamento de Matemática
Cálculo 3 Prueba # 1
26 de noviembre 2011Nombre:...................................................................................Nota:................

t 2 1 j 4tk
t 1
a) determine el dominio de r
b) determine si existe lim r t ,

1. Para r t

2t

1 i

t 1

c) ¿se puede definir r t de mdo que sea continua en 0,
d)¿existe r 1 ?

2. La posición de un móvil en el espacio viene dado por
r t

e t cos t i

e t cos t j

e tk

halle los vectores velocidad y aceleración en el instante t
no para 1s 2013...