Calculo avanzado

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Notas de C´lculo Avanzado I y II a
Richard G. Wilson Departamento de Matem´ticas, a Universidad Aut´noma Metropolitana-Iztapalapa o Marzo del 2005

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Contenido
1 La 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 construcci´n de los N´ meros Reales o u Los N´meros Enteros . . . . . . . . . . . u Los n´meros racionales . . . . . . . . . . u Cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cortaduras de Dedekind . . . . .. . . . Operaciones con cortaduras . . . . . . . 5 5 6 8 9 10

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2 Sucesiones 17 2.1 Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 22 3 Series 25 3.1 Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 La topolog´ de la recta real ıa 35 4.1 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Funciones continuas 45 5.1 Propiedades de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . .49 5.2 Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3 L´ ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6 La integral de Riemann 55 6.1 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 El Teorema del valor medio (para integrales) . . . . . . . . . . . 64 7 La Derivada 65 7.1 Propiedades b´sicas de la derivada . .. . . . . . . . . . . . . . . 67 a 7.2 El Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.3 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3

4 8 La antiderivada y la integral de Riemann 8.1 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . 8.2 Curvas rectificables . . . . . . . . . . . . . 8.3 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . 8.4 Unaaplicacion del Teorema de Taylor . . 9 Sucesiones y series de funciones 9.1 Series de Funciones. . . . . . . . . . 9.2 Series de Potencias . . . . . . . . . . 9.3 Las Series de Taylor y de Maclaurin 9.4 Series de Fourier . . . . . . . . . . .

CONTENIDO 81 85 86 92 94 97 106 108 114 118

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Cap´ ıtulo 1

La construcci´n de los o N´ meros Reales u
Nuestro objetivo en este capitulo es una definici´n formal del conjunto de los o n´meros reales, empezando con el conjunto de losenteros. u

1.1

Los N´ meros Enteros u
Z = {. . . , −n, −n + 1, . . . , −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . }

Se denota por Z, el conjunto de los enteros.

con las operaciones binarias (+) y (·), que representan la adici´n y la multiplio caci´n, respectivamente. En lo que sigue, si m, n ∈ Z, escribiremos mn en vez o de m · n. El conjunto Z es un grupo bajo la operaci´n de adici´n, lo quesignifica que o o 1) Si m, n ∈ Z, entonces m + n ∈ Z, 2) Existe una identidad, ı ∈ Z tal que ı + n = n para cada n ∈ Z (ı = 0), 3) Para cada n ∈ Z existe un elemento −n ∈ Z tal que n + (−n) = ı (el elemento −n se llama el inverso aditivo de n), y 4) La operaci´n de adici´n es asociativa, es decir, k + (m + n) = (k + m) + n. o o Pregunta: ¿Es Z un grupo bajo la operaci´n de multiplicaci´n? o o Asumiremosque los enteros ya estan definidos. (En el curso de La Teor´ ıa de Conjuntos se definir´ formalmente el conjunto de los enteros.) a El conjunto P de los elementos positivos de Z se define por: PZ = {1, 2, 3, . . . , n, . . . } y en base a esta definici´n de los positivos se puede definir un orden, < en Z o por m < n ⇔ n − m = n + (−m) ∈ PZ . 5

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CAP´ ITULO 1.

´ ´ LA CONSTRUCCION DE LOS...
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