Calculo Avanzado
Páginas: 6 (1295 palabras)
Publicado: 25 de marzo de 2015
DESARROLLO
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (comocombinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba laecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Las series de Fourier tienen laforma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Definición: Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos loscomponentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras, (1)
En laque (2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
El conjunto de funciones
(1)
Es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Alintegrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar se obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por e integremos:
(5)
Por la ortogonalidad tenemos que
y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así (6)
Por último simultiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados
(7)
Llegamos a La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
Forma compacta
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidales.
Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:Donde
.
Forma exponencial
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si
la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
En forma más compacta:
estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
donde
Formulación moderna
Realmente el desarrollo en seriede Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con . Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:
que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones de pueden desarrollarse en series de Fourier. Así,elconjunto es una base ortonormal del espacio . El desarrollo de Fourier se puede expresar como:
Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier, se verifica que:
En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el...
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (comocombinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba laecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Las series de Fourier tienen laforma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Definición: Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos loscomponentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras, (1)
En laque (2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
El conjunto de funciones
(1)
Es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Alintegrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar se obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por e integremos:
(5)
Por la ortogonalidad tenemos que
y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así (6)
Por último simultiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados
(7)
Llegamos a La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
Forma compacta
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidales.
Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:Donde
.
Forma exponencial
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si
la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
En forma más compacta:
estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
donde
Formulación moderna
Realmente el desarrollo en seriede Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con . Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:
que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones de pueden desarrollarse en series de Fourier. Así,elconjunto es una base ortonormal del espacio . El desarrollo de Fourier se puede expresar como:
Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier, se verifica que:
En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el...
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