Calculo combinatorio

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CÁLCULO COMBINATORIO
Autor: Gerardo Palumbo
[pic]
La combinatoria (no confundir con combinación) tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de los objetos, prescindiendo de la naturaleza de los mismos pero no del orden. Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto paradistinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, los designaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros.
Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática:
 Función factorial
Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : N0 → N definida por:
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n +1) = (n +1) f(n)
Simbólicamente , paraindicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial"
0! = 1
1! = 1
(n + 1)! = (n + 1) n!
La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que:
5! = 5.4.3.2.1 entonces 5! = 120
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 entonces 10! = 3628800
El factorial de un número se puede también calcular como ese númeropor el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! .
Así tendremos: 7! = 7. 6!
Retomemos de nuevo el cálculo combinatorio. Supondremos que los elementos que intervienen no se repiten, constituyendo esta suposición el estudio de la combinatoria simple. Si bien los problemas de la combinatoria son infinitos, nos ocuparemos de los tres fundamentales: a) Variaciones b) Permutaciones c)Combinaciones.
 a)      Variaciones.
Variaciones sin Repetición:
Supongamos que disponemos de tres casillas y de cuatro letras a, b, c, d y que nos plantean el siguiente problema: ¿de cuántas maneras distintas podemos llenar las casillas con dichas letras si no se permite repetir las mismas y todas las casillas deben quedar llenas?
En el espacio que queda indica todas las posibilidades quehay.
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos variación simple a todo sub – conjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n ≤ m) elegidos entre ellos , conviniendo en considerar como distintas dos variaciones cuando: difieren en algún elemento ó si tienen los mismos elementos entonces están en distinto orden.
Esto significa que para lasvariaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son distintos ya que tienen los mismos elementos pero están en distinto orden.
La fórmula que permite calcular las variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es: [pic]
Ejemplo: se tienen tres números los que se agrupan de a dos ¿cuántas variaciones podremos tener?.
Supongamos que tenemos 1, 2, 3.
| 1 2 | 2 1 | 3 1 |
| 1 3 | 23 | 3 2 |

Tenemos:  [pic]
Nótese que no se repite el mismo número dos veces, de lo contrario la cantidad de variaciones sería mucho mayor.
a`)Variaciones con Repetición
Sencillamente, si hacemos variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos, tendremos m n cantidad de posibles agrupaciones. V = m n.
En el ejemplo anterior, deberíamos agregar 11 , 22 y 33 con lo que la cuentasumaría nueve variaciones posibles, o sea, 32.
b) Permutación Simple.
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, llamamos permutación simple a todo conjunto ordenado formado con los “m” objetos. Obviamente como todos los grupos tienen los “m” elementos la única posibilidad que existe para que dos grupos sean distintos es que tengan los elementos en distinto orden. Las permutacionespueden ser definidas también como las variaciones de “m” elementos tomados de a “m” ( V m,m )
La formula que permite calcular las permutaciones es: P m = m!
Tomando el ejemplo de los tres números: 3! = 3 . 2 . 1 = 6
| 1 2 3 | 1 3 2 | 2 1 3 | 2 3 1 | 3 1 2 | 3 2 1 |

c) Combinación
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos combinación simple a...
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