Calculo De Estructuras Cristalinas

1 Estructura cristalina

11

1 Estructura cristalina

1.1 El hierro a temperatura ambiente presenta una estructura cúbica centrada en el cuerpo con un
parámetro de red a = 2,87 Å. Sabiendo que su peso molecular es 55,847 g/mol, determinar:
a) La masa de un átomo,
b) La densidad del hierro,
c) El radio atómico del hierro,
d) El volumen atómico,
e) El número de átomos por m3,
f) Elnúmero de átomos por g,
g) El número de moles por m3,
h) La masa de una celda unitaria,
i) El número de celdas unitarias existentes en 1g de hierro,
j) El volumen de una celda unitaria,
k) La densidad atómica lineal en la dirección [1 2 1], y
l) La densidad atómica superficial en el plano (1 2 0).
Solución:

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin laautorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones
establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento
informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

Materiales en ingeniería. Problemas resueltos

12

a) La masa de unátomo
55,847

1 mol
−23
g / at.
= 9,27 ⋅ 10
mol 6,023 ⋅ 10 23 at.
g

⋅

b) La densidad del hierro
nº at .: 8 ⋅ 1 + 1 = 2 at .
8
V = a3

−23
g / at . 1 kg
2 at .⋅ 9,27 ⋅ 10
3
−10 3 ⋅ 1.000 g = 7.843 kg / m
( 2,87 ⋅ 10
m)
c) El radio atómico del hierro
ϕ=

4rA = a ⋅ 3
rA =

a ⋅ 3 2,87⋅ 3
=
= 1,24Å
4
4

d) El volumen atómico
V A = 4 ⋅ π ⋅ rA = 4 ⋅ π ⋅ (1,24 ⋅ 10
3
33

e) El número de átomos por m3
2 at .
Vcelda

=

2 at .
( 2,87 ⋅ 10

−10

−10

m) = 7 ,98 ⋅ 10
3

= 8,46 ⋅ 10 at ./ m
28

m)

3

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

3

−30

m

3

1 Estructura cristalina

13

f) El número de átomos por g
6,023 ⋅ 10

at .

23

⋅

1mol

= 1,08 ⋅ 10 at ./ g
22

mol 55,847 g

g) El número de moles porm3
kg 1.000 mol
5
3
= 1,40 ⋅ 10 mol / m
7.843 3 ⋅
55,847 kg
m
h) La masa de una celda unitaria
2

1mol
55,847 g
−22
⋅
= 1,85 ⋅ 10
g / celda
23
celda 6,023 ⋅ 10 at . 1 mol
at .

⋅

i) El número de celdas unitarias existentes en 1g de hierro
1 celda
2 at .

⋅ 6,023 ⋅ 10

23

at .

⋅

1 mol

mol 55,847 g

= 5,39 ⋅ 10 celda / g
21

j) El volumen de una celdaunitaria
V = a 3 = ( 2,87 ⋅ 10 −10 m) 3 = 2,36 ⋅ 10 −29 m 3
k) La densidad atómica lineal en la dirección [1 2 1]
d[121] =

1at .
a⋅ 6

= 1,42 ⋅ 10 at ./ m
9

nº átomos = ½ + ½ = 1
b = a ⋅ (1 − 0)2 + ( 2 − 0)2 + (1 − 0)2 = a ⋅ 6
l) La densidad atómica superficial en el plano (1 2 0)
(120) ⇒ {( x = 2);( y = 1);( z = ∞ )} → Puntos de intersección con los ejes
S = a ⋅ a 2 + ( 2a ) 2 = a2 ⋅ 5
d (120) =

4 ⋅ 1 at .
4
a⋅5
2

= 5,43 ⋅ 10 at ./ m
18

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

2

Materiales en ingeniería. Problemas resueltos

14

1.2 La celda elemental del aluminio es cúbica centrada en las caras. Su masa atómica es 26,982
g/mol y el parámetro de red a = 0,405 nm. Calcular:
a) La densidad teórica,
b) La densidad atómica lineal en la dirección[1 1 0],
c) La densidad atómica superficial en el plano (1 1 1),
d) El radio atómico, y
e) El factor de empaquetamiento.
Solución:
a) La densidad teórica

ϕ=

m 4⋅ MA
=
= 2.697 kg / m3
V
N A ⋅ a3

b) La densidad atómica lineal en la dirección [1 1 0]

d[ 110] =

2
a⋅ 2

= 3,49 ⋅ 10 at ./ m
9

c) La densidad atómica superficial en el plano (1 1 1)

© los autores, 1998; ©Edicions UPC, 1998.

1 Estructura cristalina

15

d(111) =
a⋅

2


2

2
S

2
 + l2 = a ⋅ 2



(

)

2

⇒l =

3
⋅a
2

l ⋅ a ⋅ 2 a2 ⋅ 3
=
2
2
19
d( 111) = 1,408 ⋅10 at ./ m2
S=

d) El radio atómico
4R = a ⋅ 2 ⇒ R =

a⋅ 2
= 0,143 ⋅ 10− 9 m
4

e) El factor de empaquetamiento
F . E. =

4 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R3
3
= 0,74
a3

1.3 Determinar el...