Calculo De Integrales De Funciones Expresadas Como Serie De Taylor

4.4 Radio de convergencia
En matemáticas, según el teorema
convergencia de una serie de la forma
viene dado por la expresión:

de

Cauchy-Hadamard,
, con

el radio

de
,

DefiniciónSi nos limitamos al conjunto de los números reales , una serie de la
forma
, con
, recibe el nombre de serie de
potencias centrada en x0 . La serie converge absolutamente para un conjunto devalores de x q ue verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real
llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para
los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 −r, x0+ r ), ya que la convergencia
para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de
convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solopara x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = .
Ejemplos
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de
potencias con sus respectivos radios de convergenciasin justificar porqué el radio
de convergencia es el dado.
Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x ) e n su desarrollo con centro 0, o sea, en series de
potencia x − x0 = x − 0 = x,tiene el siguiente aspecto:
.
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor ). Su radio de convergencia es r= 1.
Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 esmenor que r = 1 , por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el
resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de
hecho
.
(la c uenta se puede hacerpor serie de potencia). Y por otro lado
.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x =
2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (poreso el
nombre de radio de convergenci a). Efectivamente:
.
Distancia a la singularidad
El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos
desarrollos en serie con...