Calculo de las probabilidades
Páginas: 6 (1475 palabras)
Publicado: 9 de marzo de 2014
Orígenes del cálculo de probabilidades
Desde la antigüedad más remota, los juegos de azar y de suerte han interesado al hombre; se sabe que el uso de las tabas es tan viejo como la humanidad misma y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta. El primer dado conocido es de arcilla cubierta de cuero, fue encontrado al norte de Irak y data de principios del tercer milenio a.C.
Losgriegos, que tenían una diosa de la suerte llamada Tique, de origen egipcio construyeron dados poliédricos que recordaban los sólidos platónicos, algunos se conservan en el museo del Louvre, en París.
Según la Biblia, unos 1000 años a.C., los israelitas eligieron un rey por sorteo (Samuel 10:20-24).
Pero el cálculo de probabilidades entró muy lentamente a formar parte del campo de lasmatemáticas. El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática es el Liber de ludo aleae (Manual sobre juegos de azar), escrito por Gerolamo Cardano alrededor de 1550, pero publicado unos cien años después de su muerte. El gran Galileo también se interesó por los juegos de azar y escribió un folleto titulado Sopra le scopere dei dadi (Descubrimientos sobre los juegoscon dados) publicado en 1718.
A continuación, veremos algunos de los problemas concretos y prácticos a partir de los cuales se fue creando poco a poco el modelo matemático que es hoy el cálculo de probabilidades.
El problema del duque de Toscana (1560)
El duque de Toscana fue un jugador empedernido, y había observado que en un juego en el que se tiran tres dados y se suman los puntos, el 10aparecía más veces que el 9. Sin embargo, según el duque, ambos números se pueden obtener de las seis maneras que se listan.
1+2+6=9 \ 1+3+6=10
1+3+5=9 \ 1+4+5=10
1+4+4=9 \ 2+2+6=10
2+2+5=9 \ 2+3+5=10
2+3+4=9 \ 2+4+4=10
3+3+3=9 \ 3+3+4=10
Cardano fue consultado y estudió el problema, pero no encontró respuesta satisfactoria. Fue Galileo quien encontró la solución 50 años más tarde;para ello contó todos los casos posibles y, por primera vez, presentó los datos en tablas de distribución, como la siguiente, que corresponde al problema anterior:
El 9 se obtiene de las siguientes maneras: (6,1,2), (6,2,1), (5,1,3), (5,2,2), (5,3,1), (4,1,4), . . . ,(1,6,2). En total, hay 25 maneras de obtener 9. El 10 se obtiene de 27 maneras distintas: (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1), (5,1,4),(5,2,3),(5,3,2),...
Por lo tanto, es normal que el 10 ocurra con más frecuencia que el 9.
Suma de los puntos
con 3 dados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Número de maneras
de obtenerlos 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
Los problemas del Caballero de Méré (1650)
Antoine de Gambaud, Chevalier de Méré, fue jugador, hombre de letras y cortesano muy conocido en lacorte del rey Luis XIV de Francia. Su primer problema es parecido al del duque de Toscana: ¿Cómo puede ser que el 11 ocurra más veces que el 12 cuando se tiran tres dados si ambos números se pueden formar de seis maneras distintas? El Caballero de Méré consultó a su amigo Blaise Pascal quien, mediante ese problema, empezó a interesarse por las probabilidades y resolvió este mismo problema (utilizóel mismo método que Galileo) y muchos más.
Para el segundo problema del Caballero de Méré, Pascal pidió la opinión de Fermat y escribió (1654): "El Caballero de Méré es muy talentoso, pero no es matemático y eso, usted lo sabe bien, es un gran defecto". Este es el problema:
Dos personas, A y B, participan en un juego donde las dos tienen la misma probabilidad de ganar (o sea 1/2; porejemplo, lanzando una moneda). El primero que gane cinco veces cobra el premio de 4,200 francos franceses. Desgraciadamente, después de lanzar la moneda siete veces hay que suspender la contienda; en ese momento A ha ganado 4 veces y B ha ganado 3 veces.
¿Cómo tiene que dividirse el premio entre los dos jugadores? Se propusieron varias soluciones:
a) Dividir el premio proporcionalmente a 4 y...
Desde la antigüedad más remota, los juegos de azar y de suerte han interesado al hombre; se sabe que el uso de las tabas es tan viejo como la humanidad misma y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta. El primer dado conocido es de arcilla cubierta de cuero, fue encontrado al norte de Irak y data de principios del tercer milenio a.C.
Losgriegos, que tenían una diosa de la suerte llamada Tique, de origen egipcio construyeron dados poliédricos que recordaban los sólidos platónicos, algunos se conservan en el museo del Louvre, en París.
Según la Biblia, unos 1000 años a.C., los israelitas eligieron un rey por sorteo (Samuel 10:20-24).
Pero el cálculo de probabilidades entró muy lentamente a formar parte del campo de lasmatemáticas. El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática es el Liber de ludo aleae (Manual sobre juegos de azar), escrito por Gerolamo Cardano alrededor de 1550, pero publicado unos cien años después de su muerte. El gran Galileo también se interesó por los juegos de azar y escribió un folleto titulado Sopra le scopere dei dadi (Descubrimientos sobre los juegoscon dados) publicado en 1718.
A continuación, veremos algunos de los problemas concretos y prácticos a partir de los cuales se fue creando poco a poco el modelo matemático que es hoy el cálculo de probabilidades.
El problema del duque de Toscana (1560)
El duque de Toscana fue un jugador empedernido, y había observado que en un juego en el que se tiran tres dados y se suman los puntos, el 10aparecía más veces que el 9. Sin embargo, según el duque, ambos números se pueden obtener de las seis maneras que se listan.
1+2+6=9 \ 1+3+6=10
1+3+5=9 \ 1+4+5=10
1+4+4=9 \ 2+2+6=10
2+2+5=9 \ 2+3+5=10
2+3+4=9 \ 2+4+4=10
3+3+3=9 \ 3+3+4=10
Cardano fue consultado y estudió el problema, pero no encontró respuesta satisfactoria. Fue Galileo quien encontró la solución 50 años más tarde;para ello contó todos los casos posibles y, por primera vez, presentó los datos en tablas de distribución, como la siguiente, que corresponde al problema anterior:
El 9 se obtiene de las siguientes maneras: (6,1,2), (6,2,1), (5,1,3), (5,2,2), (5,3,1), (4,1,4), . . . ,(1,6,2). En total, hay 25 maneras de obtener 9. El 10 se obtiene de 27 maneras distintas: (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1), (5,1,4),(5,2,3),(5,3,2),...
Por lo tanto, es normal que el 10 ocurra con más frecuencia que el 9.
Suma de los puntos
con 3 dados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Número de maneras
de obtenerlos 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
Los problemas del Caballero de Méré (1650)
Antoine de Gambaud, Chevalier de Méré, fue jugador, hombre de letras y cortesano muy conocido en lacorte del rey Luis XIV de Francia. Su primer problema es parecido al del duque de Toscana: ¿Cómo puede ser que el 11 ocurra más veces que el 12 cuando se tiran tres dados si ambos números se pueden formar de seis maneras distintas? El Caballero de Méré consultó a su amigo Blaise Pascal quien, mediante ese problema, empezó a interesarse por las probabilidades y resolvió este mismo problema (utilizóel mismo método que Galileo) y muchos más.
Para el segundo problema del Caballero de Méré, Pascal pidió la opinión de Fermat y escribió (1654): "El Caballero de Méré es muy talentoso, pero no es matemático y eso, usted lo sabe bien, es un gran defecto". Este es el problema:
Dos personas, A y B, participan en un juego donde las dos tienen la misma probabilidad de ganar (o sea 1/2; porejemplo, lanzando una moneda). El primero que gane cinco veces cobra el premio de 4,200 francos franceses. Desgraciadamente, después de lanzar la moneda siete veces hay que suspender la contienda; en ese momento A ha ganado 4 veces y B ha ganado 3 veces.
¿Cómo tiene que dividirse el premio entre los dos jugadores? Se propusieron varias soluciones:
a) Dividir el premio proporcionalmente a 4 y...
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