Calculo De Limites
Páginas: 45 (11045 palabras)
Publicado: 29 de octubre de 2012
1
LIMITES
El límite de una función en un punto examina el comportamiento de la función f ( x) cuando
los valores x se aproximan al punto x0 . Para tener una idea de la complejidad del problema pongamos
el siguiente ejemplo:
3
Sea f ( x) = x − 1 . Se quiere saber el comportamiento de la función cuando x se acerca a 1.
x −1
Observe que la función no está definida en 1. Sin embargopodemos tomar valores arbitrariamente
cercanos a 1. La siguiente tabla nos hace intuir el resultado del proceso límite.
x tendiendo a 1 por la izquierda
x
f ( x)
→
0.9
0.99 0.999 0.9999
2.710 2.970 2.997 2.9997
←x
1
No está
definida
tendiendo a 1 por la derecha
1.0001 1.001
3.0003 3.003
1.01
3.03
1.1
3.31
f ( x) tiende a 3
Vemos que los valores de la funciónse
acercan a 3 conforme x se acerca a 1.
Esto se escribe como:
lím f ( x) = 3
x →1
La siguiente es una definición informal de
límite de f ( x) .
Definición intuitiva: Una función f ( x) tiene límite L en c si f ( x) se acerca cada vez más al
número L cuando x se aproxima cada vez más al número c en cualquier sentido, sin llegar a valer c.
La notación usada es lím f ( x) = L y selee como:
x →c
el límite de f ( x) cuando x tiende a c vale L.
Comentario: Es importante que la función esté definida cerca de c. No hace falta que esté definida en
c, pues el valor de la función en c no importa para decir cuanto vale el límite. Lo importante son los
3
valores de la función evaluados en puntos cercanos a c. Observe como la función f ( x) = x − 1 no está
x −1definida en 1
2
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
En esta sección estableceremos las propiedades de los límites. Ellas permitirán calcular y
establecer límites sin usar la definición formal. Las dos primeras propiedades resultan evidentes.
Suponga k una constante, entonces
1.- lim k = k
Propiedad de la función constante
x→a
2.- lim x = a .
Propiedad de la identidad
x→a
El siguienteTeorema agrega más propiedades de los límites.
Teorema 1.-Suponga f ( x) y g ( x) dos funciones tales que lim f ( x) y lim g ( x) existen. Entonces:
x→a
x→a
3.-Si k es una constante tenemos que lim(kf ( x) ) = k lim f ( x) .
Propiedad del factor constante
4.- lim( f ( x) + g ( x)) = lim f ( x) + lim g ( x) .
Propiedad de la suma
5.- lim( f ( x) − g ( x)) = lim f ( x) - lim g (x )
Propiedad de la diferencia
6.- lim( f ( x ) ⋅ g ( x)) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) .
Propiedad de la multiplicación
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
7.- lim(
x→a
x →a
x →a
x→a
x→a
x→a
f ( x) lim f ( x)
) = x→a
, si lim g ( x) ≠ 0 .
x→a
g ( x) lim g ( x)
Propiedad del cociente
(
x→a
8.-Para n entero positivo tenemos lim( f ( x)) n = lim f (x)
x→a
9.- lim
f ( x)
n
x→a
=n
lim f ( x) ,
x→a
x →a
)
Propiedad de la potencia
n
Propiedad de la raíz
es válido siempre en el caso de n
impar y si n es par podemos
garantizarlo si lim f ( x) > 0 .
x →a
Comentarios:
1.- Las conclusiones del Teorema tienen dos partes, una implícita: la función que se le toma límite en el
lado izquierdo de la igualdadtiene límite en a y otra explícita: se dice que este límite vale el lado
derecho de la igualdad. Por ejemplo, si tenemos que lim f ( x ) y lim g ( x) existen entonces podemos
x→a
x→a
asegurar que el límite de ( f + g )( x) cuando x va a a existe y vale el lado derecho de (4)
2.- Para aprenderse mejor estos resultados se suelen usar expresiones como: los factores constantes
salen fuera dellímite (propiedad 3); el límite de una suma es la suma de los límites (ésta es la
propiedad de la suma: (propiedad 4); el límite de un cociente es el cociente de los límites si el límite
del denominador es distinto de cero; el límite se introduce dentro de la raíz, en el caso que el índice de
la raíz sea par podemos garantizar la propiedad si el límite del radicando es mayor que cero.
En los...
LIMITES
El límite de una función en un punto examina el comportamiento de la función f ( x) cuando
los valores x se aproximan al punto x0 . Para tener una idea de la complejidad del problema pongamos
el siguiente ejemplo:
3
Sea f ( x) = x − 1 . Se quiere saber el comportamiento de la función cuando x se acerca a 1.
x −1
Observe que la función no está definida en 1. Sin embargopodemos tomar valores arbitrariamente
cercanos a 1. La siguiente tabla nos hace intuir el resultado del proceso límite.
x tendiendo a 1 por la izquierda
x
f ( x)
→
0.9
0.99 0.999 0.9999
2.710 2.970 2.997 2.9997
←x
1
No está
definida
tendiendo a 1 por la derecha
1.0001 1.001
3.0003 3.003
1.01
3.03
1.1
3.31
f ( x) tiende a 3
Vemos que los valores de la funciónse
acercan a 3 conforme x se acerca a 1.
Esto se escribe como:
lím f ( x) = 3
x →1
La siguiente es una definición informal de
límite de f ( x) .
Definición intuitiva: Una función f ( x) tiene límite L en c si f ( x) se acerca cada vez más al
número L cuando x se aproxima cada vez más al número c en cualquier sentido, sin llegar a valer c.
La notación usada es lím f ( x) = L y selee como:
x →c
el límite de f ( x) cuando x tiende a c vale L.
Comentario: Es importante que la función esté definida cerca de c. No hace falta que esté definida en
c, pues el valor de la función en c no importa para decir cuanto vale el límite. Lo importante son los
3
valores de la función evaluados en puntos cercanos a c. Observe como la función f ( x) = x − 1 no está
x −1definida en 1
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
En esta sección estableceremos las propiedades de los límites. Ellas permitirán calcular y
establecer límites sin usar la definición formal. Las dos primeras propiedades resultan evidentes.
Suponga k una constante, entonces
1.- lim k = k
Propiedad de la función constante
x→a
2.- lim x = a .
Propiedad de la identidad
x→a
El siguienteTeorema agrega más propiedades de los límites.
Teorema 1.-Suponga f ( x) y g ( x) dos funciones tales que lim f ( x) y lim g ( x) existen. Entonces:
x→a
x→a
3.-Si k es una constante tenemos que lim(kf ( x) ) = k lim f ( x) .
Propiedad del factor constante
4.- lim( f ( x) + g ( x)) = lim f ( x) + lim g ( x) .
Propiedad de la suma
5.- lim( f ( x) − g ( x)) = lim f ( x) - lim g (x )
Propiedad de la diferencia
6.- lim( f ( x ) ⋅ g ( x)) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) .
Propiedad de la multiplicación
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
7.- lim(
x→a
x →a
x →a
x→a
x→a
x→a
f ( x) lim f ( x)
) = x→a
, si lim g ( x) ≠ 0 .
x→a
g ( x) lim g ( x)
Propiedad del cociente
(
x→a
8.-Para n entero positivo tenemos lim( f ( x)) n = lim f (x)
x→a
9.- lim
f ( x)
n
x→a
=n
lim f ( x) ,
x→a
x →a
)
Propiedad de la potencia
n
Propiedad de la raíz
es válido siempre en el caso de n
impar y si n es par podemos
garantizarlo si lim f ( x) > 0 .
x →a
Comentarios:
1.- Las conclusiones del Teorema tienen dos partes, una implícita: la función que se le toma límite en el
lado izquierdo de la igualdadtiene límite en a y otra explícita: se dice que este límite vale el lado
derecho de la igualdad. Por ejemplo, si tenemos que lim f ( x ) y lim g ( x) existen entonces podemos
x→a
x→a
asegurar que el límite de ( f + g )( x) cuando x va a a existe y vale el lado derecho de (4)
2.- Para aprenderse mejor estos resultados se suelen usar expresiones como: los factores constantes
salen fuera dellímite (propiedad 3); el límite de una suma es la suma de los límites (ésta es la
propiedad de la suma: (propiedad 4); el límite de un cociente es el cociente de los límites si el límite
del denominador es distinto de cero; el límite se introduce dentro de la raíz, en el caso que el índice de
la raíz sea par podemos garantizar la propiedad si el límite del radicando es mayor que cero.
En los...
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