Calculo de longitud de arco

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Longitud de Arco:
L=ab1+[f'(x)]2dx
Deducción de la fórmula:
Para poder dar una deducción de esta fórmula, es necesario que se tengan las siguientescondiciones:
* Que sea una curva rectificable, es decir, que su longitud es finita.
* Que la función f (x) sea continua y derivable en todo el intervalo cerrado[a , b].
* Que la derivada f '(x) sea continua en el intervalo cerrado [a , b].
Para aproximar la longitud del arco L de la curva que va desde un punto ahasta un punto b podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "Cubran" el arco de la curva elegido como se muestra en lasiguiente imagen.

Para que sea más sencillo, exigiremos que las bases de todos esos triángulos sean iguales a x de manera que existirá un cateto y asociado,siendo entonces cada hipotenusa igual a:
Δx2+Δy2
Así, una aproximación de L estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Poreso tenemos que:
L ~ i=1n∆xi2+∆yi2
Sin embargo, esta fórmula sigue sin sernos muy útil, así que haremos algunos artificios algebraicos para llevarla a una formamás conveniente.
∆x2+∆y2=∆x2+∆y2*(∆x2∆x2)=1+∆y2∆x2*∆x
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos y mayor el número n de triángulos, será mejor laaproximación. Entonces si se hace un número infinito de triángulos, haciendo que x tienda a cero, lograremos tener una aproximación muy precisa. Entonces, lafórmula queda:
L= lim∆x→0i=0∞1+(∆yi∆xi)2*∆xi=ab1+(dydx)2dx=ab1+[f'x]2dx
Así hemos deducido la fórmula para encontrar la longitud de un arco.
L=ab1+[f'(x)]2dx
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