Calculo de una variable

Límites

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.

Cálculo en una variable/Límites
Saltar a navegación, buscar
Introducción
Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.
Empecemos con una función f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4. pero seamos un poco ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2.Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así
|[pic] |

Esta última función es igual a x2 en todas partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como|[pic] |

Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comportaen ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamente como sigue
[pic]
Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(c) se hace más y más cercana cuando xse aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.
Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites esmuy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir
|[pic]|

|Contenido |
|[ocultar] |
|1 Aplicación al cálculo de la velocidad instantánea |
|2 Definición formal de límite|
|3 Límites laterales |
|3.1 Límite por la derecha |
|3.2 Límite por la izquierda |
|4 Teoremas fundamentalessobre límites |
|5 Teorema de Intercalación (Teorema del Emparedado) |
|6 Límites de funciones trigonométricas |
|7 Demostración del límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0|
|8 Límites infinitos |
|9 Límites al infinito |
|10 Asíntotas |
|10.1 Usando la notación de límite para describir asíntotas...