calculo de varias variables


CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Una función vectorial es una función del tipo:



Es decir, a una sola variable le asigna un vector, las funciones de varias variables, hacen lo contrario: a un vector le asignan un número real por lo que podemos dar la siguiente definición:

DEFINICION 1: (función de varias variables)

Una función de variasvariables es una función del tipo:




En ese caso escribimos: y = f(x1, x2,... , xn)
Los siguientes ejemplos se refieren a algunas funciones concretas de este Tipo:

1) El área de un rectángulo de lados x y y está dada por:

A(x, y)= xy (1)


2) El volumen de un paralelepípedo rectangular de lados x, y, z está dada por:

V(x, y, z) = xyz (2)

3) La superficie de unparalelepípedo rectangular de lados x, y, z está dada por:

S(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz (3)


DOMINIO:

Al igual que con las funciones de una variable, nuestro nuevo tipo de funciones están definidas sólo para
Ciertos valores de las variables independientes. Para funciones del tipo R2→R el dominio es un subconjunto de
R2, mientras que para funciones del tipo R3→R el dominio es unsubconjunto de R3.

DEFINICION 2: (dominio natural)

Dada una función de dos variables, su DOMINIO (natural) es la región del plano para la que la regla de correspondencia tiene sentido en R, análogamente, el dominio natural de una función de tres variables es la región del espacio para la que la regla de correspondencia tiene sentido en R.

Al igual que en Cálculo I, el dominio natural puedeestar restringido por condiciones físicas. Consideremos las siguientes funciones y determinemos su dominio:









Podemos hacer una representación gráfica de dicho dominio y observamos que para la función h se trata del semiplano inferior determinado por la recta 2x−3y+4=0 incluyendo los puntos de la recta (ve la Figura 3).

En el caso de f se trata del semiplano superior determinadopor la recta 4x+y−5=0 sin incluir los puntos de la recta (ve la Figura 4).

El dominio de g consta del interior de la circunferencia x2+y2=1 sin incluir la frontera (ve la Figura 5).

El dominio de ϕ son todos los puntos del plano externos a la circunferencia x2+y2=4 incluyendo los puntos de la circunferencia (ve la Figura 6).

El dominio de Dá es la región del espacio determinada por elplano 2x−3y+4z=6 que queda del otro lado del origen sin incluir los puntos del plano (ve la Figura 7).

Y finalmente Dµ es el interior de la esfera con centro en el origen y radio 4 sin incluir los puntos de la esfera.






FIGURAS:













OPERACIONES:

Las operaciones con funciones de varias variables se definen exactamente como lo esperaríamos:

DEFINICION 3:(operaciones con funciones)

Dadas f y g funciones de varias variables, F una función vectorial, h una función de una variable, X∈Rn y x∈R

Definimos las siguientes operaciones entre ellas:




Observa que las primeras cinco funciones son del tipo Rn→R, que la sexta es del tipo R→R y la última es del
Tipo Rn→Rm. Este último tipo de funciones se estudiarán más adelante pues soncualitativamente diferentes de
las que veremos en esta unidad.
En la siguiente definición se caracterizan algunas funciones con las que más frecuentemente nos
Encontraremos.

DEFINICION 4: (funciones polinomiales y racionales)
Una función de dos variables x y y es una función POLINOMIAL si es una suma de funciones del tipo cxmyn
(m ,n ∈Z+) y se dice RACIONAL si es el cociente de dos funcionespolinomiales.

GRÁFICAS:
Apenas se necesita recordar que en Cálculo I y en la unidad pasada, se definió la gráfica de una función f
Como el conjunto G= {(x, f(x))/ x∈Df} , es decir, el conjunto de todas las parejas ordenadas cuyas primeras
componentes son los elementos del dominio y cuyas segundas componentes son las respectivas imágenes. Para
una función de varias variables podemos...