Calculo de Volumenes con Integrales
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Tema:
Docente: Pedro G. Quispe Ramos
1. DEFINICIÓN: Un sólido de revolución es aquel que se obtiene al rotar una región
planaalrededor de una recta en el plano, llamado eje de revolución.
Ejemplo:
Para calcular el volumen de un sólido de revolución consideremos los siguientes métodos:
MÉTODO 1: MÉTODO DEL DISCO CIRCULARConsideremos una función f continua en el intervalo a, b y que f(x) 0, xa, b.
Sea R la región plana acotada por la curva y=f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b.
Y
Y=f(x)
x=a
O
Xi-1i
Xi
x=b
1
X
Consideremos una partición del intervalo cerrado a, b , P={x0, x1, x2,…,xn} donde el iésimo sub-intervalo xi-1, xi tiene una longitud ix = xi - xi-1 y tomamosixi-1, xi para
i=1;2;3;…;n, luego trazamos los rectángulos que tienen una altura f(i) unidades y ancho
ix unidades. Si se hace girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje X se obtiene un discocircular de la forma de un cilindro circular recto donde el radio de la base es f(i) y sus
alturas ix.
Y
Y=f(x)
f(i)
i
Xi-1
O
ix
Volumen del i-ésimo disco circular es:
∆𝑖 𝑉 = 𝜋𝑓 𝜀𝑖
2
∙ ∆𝑖 𝑥
Para “n” discos circulares, el volumen de los “n” discos circulares es:
𝑛
𝑛
∆𝑖 𝑉 =
𝑖=1
2
𝜋 𝑓 𝜀𝑖
𝑖=1
2
∙ ∆𝑖 𝑥
Xi
X
DEFINICIÓN:
Consideremos unafunción f continua en un intervalo cerrado a, b y suponiendo que
f(x)0, xa, b y sea S el sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X
la región R acotada por la curva y=f(x) eleje X y las rectas verticales x=a y x=b, y sea V
el volumen del sólido S al cual definiremos por:
𝑏
𝑛
𝑉 = lim
𝑛→1
2
𝜋 𝑓 𝜀𝑖
∙ ∆𝑖 𝑥 = 𝜋
𝑖=1
𝑓 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑉= 𝜋
𝑓𝑥
2
𝑑𝑥
𝑎
(Método del disco circular)
Ejemplo Ilustrativo N° 1
Hallar el volumen engendrado al girar la parábola 𝑦 =
𝑥 alrededor del eje X entre 0 y 4.
Solución
Y...
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