Calculo diferencial aplicado al calculo de diferencias

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Cálculo diferencial aplicado al cálculo de diferencias.
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x.
La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un invento del cerebro humano que sirve para explicar eldesarrollo dinámico de la mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirvió para el estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos conocer la velocidad de su desplazamiento. Sin embargo esta concepto se puede extender a problemas de crecimiento, de cualquier tipo decrecimiento. En efecto, supongamos que conocemos la cantidad de seres vivos en cualquier instante de tiempo, que denotaremos como N( t ). Esto es, N( t ) es la cantidad de seres vivos que hay en el instante de tiempo t. De manera que N( t + Dt) será la cantidad de seres vivos que hay en el instante de tiempo  t + Dt. Y entonces el crecimiento (o decrecimiento) de seres vivos en el intervalo de tiempo [ t , t + Dt] será de |
N( t + Dt) - N( t )              (1) |
De otra forma, el valor que resulta de la expresión en (1) es la cantidad de crecimiento neto durante el intervalo de tiempo  [ t ,  t + Dt]. Ahora si la cantidad obtenida en (1) es negativa se interpretará como la cantidad de decrecimiento en el intervalo [ t ,  t + Dt]. Como quiera que sea hablaremos de crecimiento (entendiendo que sies negativa, pasará a ser decrecimiento). Podemos hacernos la siguiente pregunta ¿Cuántos seres vivos nacen por unidad de tiempo, en el íntervalo [ t ,  t + Dt]? Y la respuesta es claramente la siguiente: |
               (2) |
Esto es, la división entre el crecimiento por la longitud del intervalo en estudio. Observe que las unidades de (2) son número de seres vivos por unidad de tiempo.Además el valor de la expresión (2) va a depender del valor de Dt, esto es de la longitud del intervalo [ t ,  t + Dt]. A medida que este intervalo sea más pequeño, para un instante de tiempo t fijo, la cantidad en (2) eventualmente puede ir variando (o a lo mejor no). Pues bien, lo que inventó Newton es ver si la expresión dada en (2), que en su honor se llama el cociente de Newton, converge a unnúmero cuando Dt es una cantidad "pequeñísima". ¿Qué significa "pequeñísima" en nuestro contexto? Significa simplemente una cantidad muy próxima al cero. Y la acción de ir evaluando el cociente de Newton para valores pequeñísimos de Dt los matemáticos lo escriben como |
             (3) |
Y la lectura es la siguiente "límite del cuociente de Newton cuando Dt tiende a cero". Si la cantidad (3)existe entonces se llama la derivada de la función N(  ) , evaluada en el tiempo t. Y se escribe como |
           (4) |
Volvemos a insistir que el número N `(t) tiene como unidades, en nuestro ejemplo, número de seres vivos que nacen por unidad de tiempo. |
La expresión (4) no se "ve" en la naturaleza, y esto es a causa del complejo proceso de límite. Sin embargo, una vez que tengamoscalculada la expresión dada en (4) podemos decir que en un intervalo  [ t ,  t + Dt] bastante pequeño, es decir para un Dt determinado y muy pequeño, tenemos que |
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de tal manera que |
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despejando N(t + Dt)  nos queda |
         (5) |
Y esta ecuación sí que existe en la naturaleza. |
La ecuación dada en (5) tiene la siguiente interpretación sencilla. Los seres vivos que hay en el tiempot + Dt será igual a la cantidad de seres vivos que había en t más la cantidad de seres que nacen en el intervalo [ t ,  t + Dt]. Y los seres que nacen en el intervalo de tiempo t es aproximadamente N´( t ).Dt (número de seres vivos que nacen por unidad de tiempo multiplicado por el tiempo transcurrido). |
Las ecuaciones (4) y (5) prácticamente significan lo mismo. |
Ejemplos de Aplicaciones....
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