Calculo diferencial multivariable

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Cálculo Diferencial Multivariable

Curvas
• Curva: Campo Vectorial que depende de una variable y su salida es un vector.

r (t ) = ( x(t ), y (t ))

T T

( ( (

2 3 n

) ) )

r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))

r (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ))T

Límites en Curvas

( ) lim r (t ) = ( lim x(t ), lim y (t ), lim z (t ) ) lim r (t ) = ( lim x (t ),..., lim x (t ) )lim r (t ) = lim x(t ), lim y (t )
t →0 t →0 t →0 t →0 t →0 t →0 T t →0 T t →0 t →0 1 t →0 n

( ( (

2

) ) )

T

3

n

Curvas
r (t ) = ( x(t ), y (t )) = (cos(t ),sin(t ))
T T

Curvas
r (t ) = ( x(t ), y (t ))T = (t , t 2 )T

Curvas
r (t ) = ( x(t ), y (t ))T = (h + r cos(t ), k + r sin(t ))T

Curvas
r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))T = r0 + t (r1 − r0 ), 0 ≤ t ≤ 1r1

⇒ x(t ) = 1 + t , y (t ) = 3 − 4t , z (t ) = −2 + 5t

r0

Curvas

r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))

T T

= (cos(t ),sin(t ), t )

Curvas
Intersección superficies : Cilindro x 2 + y 2 = 1 y Plano y + z = 2 x(t ) = cos(t ), y (t ) = sin(t ), z (t ) = 2 − y (t ) = 2 − sin(t ) ⎛ cos(t ) ⎞ ⎜ ⎟ r (t ) = ⎜ sin(t ) ⎟ ⎜ 2 − sin(t ) ⎟ ⎝ ⎠

Derivada de la Función de una curva
r (t+ h) − r (t ) r '(t ) = lim h →0 h

Derivada de la Función de una curva
r (t ) = ( x, y, z )
T

Vector Tangente a la curva en el punto ( x, y, z )T r (t + h) − r (t ) r '(t ) = lim h →0 h T Vector Tangente Unitario a la curva en el punto ( x, y, z ) r '(t ) T(t ) = r '(t )

Vector Tangente
r '(t ) = (− sin(t ), cos(t ))T En el punto ( x, y )T = ( 1 r' π

r '(t )
4

( 4)

2

,1

= (− sin π = (− 1 2

( 4) ( 4)
, cos π 2 )T , 1

2

)T ⇒ t = π )T

r (t )

T π

( 4)

= 1

2

(−1,1)T

Propiedades Derivación
d [u(t ) + v (t )] = u '(t ) + v '(t ) dt d [cu(t )] = cu '(t ) dt d [ f (t )u(t )] = f '(t )u(t ) + f (t )u '(t ) dt d [u(t )i v (t )] = u '(t )i v (t ) + v '(t )iu(t ) dt d [u(t ) × v (t )] = u '(t ) × v (t ) + v '(t ) × u(t ) dt d [u( f (t))] = f '(t )u '( f (t )) dt

Pregunta
¿Cuál es la variación, con respecto a su variable, de la magnitud de la curva dada por: r (t ) = (cos(t ),sin(t ))T ? Respuesta: r (t ) = r (t )ir (t ) ⇒
2

d 2 r (t ) = r '(t )ir (t ) + r '(t )ir (t ) = 2r '(t )ir (t ) dt = (cos(t ),sin(t ))T i(− sin(t ), cos(t ))T = 0

Derivadas Parciales
• Índice calorífico (I) como campo escalar f dependientede las variables Temperatura (T) y Humedad relativa (H). I = f(T,H)

Derivadas Parciales
• Fijando en H = 70, g(T) = f(T,70) y se puede calcular la razón de cambio de I al variar la temperatura.
g (96 + h) − g (96) f (96 + h, 70) − f (96, 70) g '(96) = lim = lim h →0 h →0 h h g (98) − g (96) f (98, 70) − f (96, 70) g '(96) ≈ = =4 2 2 g (94) − g (96) f (94, 70) − f (96, 70) g '(96) ≈ = = 3.5−2 −2 4 + 3.5 ⇒ fT (96, 70) ≈ = 3.75 2

Derivadas Parciales
• Fijando en T = 96, G(H) = f(96,H) y se puede calcular la razón de cambio de I al variar la humedad.
G (70 + h) − G (70) f (96, 70 + h) − f (96, 70) G '(70) = lim = lim h →0 h →0 h h G (75) − G (70) f (96, 75) − f (96, 70) G '(70) ≈ = =1 5 5 G (65) − G (70) f (96, 65) − f (96, 70) G '(70) ≈ = = 0.8 −5 −5 1 + 0.8 ⇒ f H (96, 70) ≈ = 0.92

Derivadas Parciales
f ( a + h, b ) − f ( a , b ) f x (a, b) = lim h →0 h f ( a, b + k ) − f ( a, b) f y (a, b) = lim k →0 k i f (r + hˆ) − f (r ) f x (r ) = lim h →0 h j f (r + kˆ) − f (r ) f y (r ) = lim k →0 k

Derivadas Parciales en lRn
f x p (r ) = D p f (r ) = lim
h →0

ˆ f (r + he p ) − f (r )

= lim
h →0

h f ( x1 ,..., x p + h,..., xn ) − f ( x1 ,..., x p ,..., xn ) h∂f Otra notación para f x (x, y ) es (x, y ). ∂x

Cálculo de Derivadas Parciales
• La derivada parcial respecto a una variable es simplemente el derivar la función respecto a ella tomando como constante a las demás.
f ( x, y ) = x 3 + x 2 y 3 − 2 y 2 ⇒ f x ( x, y ) = 3 x 2 + 2 xy 3 , f y ( x, y ) = 3 x 2 y 2 − 4 y f x (2,1) = 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ 2 ⋅13 = 16, f y (2,1) = 3 ⋅ 22 ⋅12 − 4 ⋅1 = 8...
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