Calculo Diferencial e Integral

Páginas: 6 (1291 palabras) Publicado: 18 de abril de 2012
Una Humilde Observacion Al Calculo Diferencial e Integral
Autor: Kossoen Fecha:16 de agosto del 2007

Me presento, soy kossoen, publico este documento en chilecomparte.cl bajo el nombre de usuario “kof”. Soy estudiante de fisica y un tanto aficionado a las matematicas. Este documento lo redacte hace un par de a˜os n solo por diversion, solo hoy le hice una peque˜a re-edicion para publicarlo.Decidi que lo mejor seria compartirlo n aqui y no tenerlo oculto en un oscuro y remoto rincon de mi disco-duro... En un dia de vagancia, no se me ocurrio nada mejor que salir a cazar Sanguijuelas Asesinas del Espacio Exterior, luego de cumplir mi proposito, me puse a descansar y me llego esto a la mente: Sea φ(z) una funcion definida de la siguiente manera: φ : C −→ C, φ(z) = cz p , Donde c es unaconstante a valores complejos cualquiera y p una constante compleja diferente de cualquier entero negativo

Tenemos que las n (n ∈ N) primeras derivadas de φ(z) son: d φ(z) = cpz (p−1) dz d2 φ(z) = cp(p − 1)z (p−2) dz 2 d3 φ(z) = cp(p − 1)(p − 2)z (p−3) dz 3 . . . n cp! d φ(z) = z (p−n) dz n (p − n)!

Todo bien simpatico y simple, pero para poder continuar a lo que realmente quiero llegar, esnecesario tener ciertos conocimientos sobre la Funcion Gamma, Los cuales explicare aqui mismo La Funcion Gamma es una funcion de variable compleja conocida generalmente por la siguiente expresion:


Γ(z) =
0

t(z−1) e−t dt, dt

Esta es la Formula General de la Funcion Gamma, Tambien conocida como Integral de Euler

Obs: La Funcion Gamma Es analitica en todo el plano de los numeroscomplejos, salvo en los enteros negativos

1

La funcion Gamma tiene dos propiedades muy importantes que vale la pena recordar, estas son: 1. Γ(n + 1) = nΓ(n) 2. Γ(n + 1) = n!

Demostracion de (1): Sabemos que: Γ(n + 1) =
0 ∞

tn e−t dt

Haciendo el cambio de variables: u = tn , du = nt(n−1) dt −t dv = e dt, v = −e−t y luego integrando por partes, se tiene:
∞ ∞ ∞

Γ(n + 1) =
0

tn e−t dt= −tn e−t
0 b b

+
0

nt(n−1) e−t dt

= l´ ım −tn e−t
b→∞ 0

+n
0 b

t(n−1) e−t dt tn−1 e−t dt

−bn +n = l´ ım b→∞ eb


0

=n
0

tn−1 e−t dt = nΓ(n)

Demostracion de (2) Es claro que: Γ(1) =
0 ∞ ∞

e−t = −e−t
0

=1

Luego, usando el resultado anterior se tiene que: Γ(1) = 1 = 0! Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1! Γ(3) = 2Γ(2) = 2 = 2! Γ(4) = 3Γ(3) = 6 = 3! Γ(5) = 4Γ(4) = 24= 4! . . . Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! y en general: Γ(z + 1) = zΓ(z) = z! Donde z es un numero complejo distinto de cualquier entero negativo 2

Bueno... es ahora donde comienza la parte realmente rarifica. Recordemos la funcion φ(z), que se definio en un principio φ(z) = cz p Ya que en una vola matemagica me aproveche de la analiticidad de la Funcion Gamma para hacer algo como esto: Γ(p + 1) dw φ(z)= c z (p−w) dz w Γ(p + 1 − w) Donde w es un numero complejo, permitiendome asi la sutil rareza de calcular derivadas de orden complejo, y en particular, derivadas de orden 1 , π, e, -1, etc...etc... etc... 2 Y el asunto no se queda solo ahi, si nos fijamos bien, podemos hacer algo como esto: d−1 φ(z) = dz −1 d−2 φ(z) = dz −2 d−3 φ(z) = dz −3 . . . Por lo visto, podemos obtener tanto derivadas comointegrales (indefinidas) de orden complejo. Peque˜o detalle, si derivamos con orden 1, simplemente derivamos, si derivamos con orden (-1) integramos. n Si aplicamos “derivada de orden complejo (1-i)”... derivamos o integramos? Es acaso que lo que hacemos al aplicar “derivada de orden complejo” es algo mucho mas general; la derivada e integral que habitualmente conocemos son solo casos particularresde esta operacion? φ(z)dz φ(z)d2 z φ(z)d3 z

Peque˜o detalle.... n

Lo que es claro es que haciendo este tipo de calculos se obtienen resultados muy raros, como por ejemplo, la 1 derivada 2 de una constante es distinto de cero. d2 dz 2
1 1

c c= √ πz

3

Demostracion: Es claro que: d2
1 1 c = 1 1 2

d2 dz

dz 2

cz 0 = c

Γ(1) − 1 2 1 z Γ( 2 )

De los calculos anteriores...
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