Calculo diferencial

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El cálculo diferencial, una rama de las matemáticas, es el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de latasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas paraconocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Diferenciación y diferenciabilidad.

La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una funciónes diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero notoda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
Derivadas de orden superior [editar]

La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombrede tercera derivada, y así sucesivamente.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe:

f^\prime(a) para la primera derivada,
f^{\prime\prime}(a) para la segunda derivada,
f^{\prime\prime\prime}(a) para la tercera derivada,
f^{(n)}(a)\, para la enésima derivada (n > 3).Para la función derivada de f(x), se escribe f^\prime(x). De modo parecido, para la segunda derivada de f(x) se escribe f^{\prime\prime}(x), y así sucesivamente.
Cociente diferencial de Newton
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de unafunción porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeñavariación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es

f(x+h)-f(x)\over h

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Si laderivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy...
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