Calculo diferencial

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Diferenciación y diferenciabilidad

La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si unafunción no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
[editar] Definición de Derivada
Derivada.gif
Derivative.pngLas derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de laspendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es

f(x+h)-f(x)\over h

Esta expresión es un CocienteDiferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da comoresultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de lasfunciones descritas; ver abajo.

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:
[editar] Ejemplo 1

Consideremos la siguiente función:
f(x) \,\! = 5 \,\!

Entonces:
f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(5)-(5)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0

Esta función es constante, para cualquierpunto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.
[editar] Ejemplo 2

Consideremos la gráfiica de f(x)=2x-3\,\!. Esta recta tiene una pendiente igual a 2.0 en cada punto.Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:
f(x) \,\! = 2x-3 \,\!

Entonces:
f'(4) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2
f'(5) \,\! =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(5+h)-3-(2\cdot 5-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{10+2h-3-10+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2

Y vemos que se cumple para cualquier número n:
f'(n) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(n+h)-f(n)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(n+h)-3-(2\cdot n-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2n+2h-3-2n+3}{h} =...
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