Calculo diferencial

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Funciones

Instituto de Matem´ticas* a Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medell´ 25 de julio de 2011 ın,

1.

Introducci´n o

camente como se muestra en la figura: la funci´n f la podemos considerar como una “m´quina” o a en la cual un objeto x de un conjunto X es transformado en un objeto f (x) de un conjunto Y . Antes de iniciar el estudio de lasfunciones, presentaremos algunas ideas relacionadas con la informaci´n que por medio de gr´ficas una ecuaci´n nos puede proporcionar. o a o
* Esta

obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribuci´n - No comercial 2.5 Colombia. o

Un

El concepto matem´tico de funci´n expresa la idea intuitiva acerca a o de una cantidad (variable independiente, “valor de entrada”) que determina porcompleto a otra cantidad (variable dependiente, “valor de salida”). Una funci´n asigna a cada “valor de entrada” un unico “vao ´ lor de salida”. Este tipo especial de relaci´n lo podemos encontrar en o diversas situaciones de la vida diaria como por ejemplo en un supermercado, cuando a cada producto (variable independiente) se le asigna su costo (variable dependiente). Las funciones est´n presentesen toda la matem´tica y son esenciaa a les para la formulaci´n de relaciones f´ o ısicas que surgen en las ciencias naturales. ¿Pero, c´mo se lleg´ a esto? o o Figura 1 Como t´rmino matem´tico, el concepto de funci´n fue acu˜ ado e a o n por Leibniz en una carta escrita en 1673 en la que relacionaba una cantidad a una curva. Las funciones consideradas por Leibniz, actualmente se conocen comofunciones diferenciables. En 1718 J. Bernoulli consider´ una funci´n como una expresi´n constituida de variables y constantes, o o o y Leonar Euler a mediados del siglo XVIII utiliz´ la palabra funci´n para describir una expresi´n o o o a o f´rmula que involucrara variables, constantes y operaciones matem´ticas que las relacionara. o A finales del siglo XIX se inici´ un proceso de formalizaci´n en lasmatem´ticas por medio del o o a concepto de conjunto y se atribuye al matem´tico alem´n Johann Gustav Dirichlet (figura 1), la a a introducci´n de la noci´n moderna del concepto de funci´n. o o o Las funciones generalizan la noci´n com´n de f´rmula matem´tica. Por medio de funciones se o u o a establecen relaciones especiales entre elementos de conjuntos. Una funci´n asocia a cada elemento o x de unconjunto, un unico elemento f (x) de otro conjunto. Esto puede realizarse por medio de ´ una f´rmula, un diagrama de flechas, una regla de asociaci´n, una tabla de datos, etc. o o x Los cient´ ıficios e ingenieros utilizan modelos matem´ticos con el oba jetivo de comprender y explicar fen´menos y procesos que se presentan o en el mundo real. Un modelo matem´tico es una descripci´n matem´tica a o ade un sistema. Los modelos matem´ticos emplean un tipo de formulisa mo matem´tico para expresar relaciones entre variables, par´metros y a a f entidades. Las relaciones que se plantean en un modelo matem´tico se enuna cian por medio de funciones. La idea de funci´n que m´s adelante en la o a f (x ) a secci´n (3) te presentaremos en detalle, la podemos ilustrar esquem´tio

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2

Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia a

2.

Gr´ficas de ecuaciones a

Aunque en los ejemplos vistos en el taller 3, las ecuaciones resueltas involucraban s´lo una o variable, existe una gran variedad de situaciones donde dos o m´s variables se relacionan por a medio de una ecuaci´n. o En ocasiones, la informaci´n num´rica contenida en una ecuaci´nresulta m´s ilustrativa cuando o e o a se presenta por medio de gr´ficas. a

2.1.

Plano coordenado

En el taller 1 vimos que cada punto de la recta representa un n´mero real y rec´ u ıprocamente, a cada n´mero real le corresponde un punto de la recta. u

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y

II
−5/2, √ 2

3

2

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1

de
(2, 3) (0, 1)
1 2 3

La misma idea se puede...
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